4 { }^{\text {o }} ) Em cada item, faça o que se pede:
a) Determine a transformação linear T: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{3} tal que T(1,2)=(-2,3,1), T(1,-1)=(5,2,-1).
b) Obtenha v \in \mathbb{R}^{2} tal que T(v)=(12,1,-3).
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear \,T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3,
com T(1,2)=(-2,3,1)
e T(1,-1)=(5,2,-1).
O objetivo é (a) encontrar a fórmula de T em termos de (x,y) e (b) achar v=(x,y) tal que T(v)=(12,1,-3). Para isso vamos usar que uma transformação linear fica determinada pelas imagens de \mathbf e_1=(1,0) e \mathbf e_2=(0,1) e resolver sistemas lineares.
Passo 2
Defina \mathbf a=T(\mathbf e_1)=(a,b,c)
e \mathbf d=T(\mathbf e_2)=(d,e,f).
Pela linearidade: