4 { }^{\text {o }} ) Em cada item, faça o que se pede:
a) Determine a transformação linear T: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{3} tal que T(1,2)=(-2,3,1), T(1,-1)=(5,2,-1).
b) Obtenha v \in \mathbb{R}^{2} tal que T(v)=(12,1,-3).

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear \,T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3,
com T(1,2)=(-2,3,1)
e T(1,-1)=(5,2,-1).
O objetivo é (a) encontrar a fórmula de T em termos de (x,y) e (b) achar v=(x,y) tal que T(v)=(12,1,-3). Para isso vamos usar que uma transformação linear fica determinada pelas imagens de \mathbf e_1=(1,0) e \mathbf e_2=(0,1) e resolver sistemas lineares.

Passo 2

Defina \mathbf a=T(\mathbf e_1)=(a,b,c)
e \mathbf d=T(\mathbf e_2)=(d,e,f).
Pela linearidade:
T(1,2)=T(\mathbf e_1+2\mathbf e_2)=\mathbf a+2\mathbf d=(-2,3,1)
T(1,-1)=T(\mathbf e_1-\mathbf e_2)=\mathbf a-\mathbf d=(5,2,-1)
Isso gera o sistema:
\begin{cases} a+2d=-2,\\\ b+2e=3,\\\ c+2f=1, \end{cases} \quad \begin{cases} a-d=5,\\\ b-e=2,\\\ c-f=-1. \end{cases}

Passo 3

Resolvendo componente a componente:
Para a,d\): \[\begin{cases} a+2d=-2,\\\ a-d=5, \end{cases} \;\Longrightarrow\; d=-\tfrac{7}{3},\; a=\tfrac{8}{3}.
Para b,e\]: \[\begin{cases} b+2e=3,\\\ b-e=2, \end{cases} \;\Longrightarrow\; e=\tfrac{1}{3},\; b=\tfrac{7}{3}.\] Para \[c,f:
\begin{cases} c+2f=1,\\\ c-f=-1, \end{cases} \;\Longrightarrow\; f=\tfrac{2}{3},\; c=-\tfrac{1}{3}.
Logo \mathbf a=(\tfrac{8}{3},\tfrac{7}{3},-\tfrac{1}{3})\] e \(\mathbf d=(-\tfrac{7}{3},\tfrac{1}{3},\tfrac{2}{3}).

Passo 4

Pela linearidade, para todo (x,y) temos
T(x,y)=x\,\mathbf a+y\,\mathbf d =(x\,\tfrac{8}{3}+y\,(-\tfrac{7}{3}),\;x\,\tfrac{7}{3}+y\,\tfrac{1}{3},\;x\,(-\tfrac{1}{3})+y\,\tfrac{2}{3}).
Portanto
T(x,y) =\Bigl(\tfrac{8x-7y}{3},\;\tfrac{7x+y}{3},\;\tfrac{-x+2y}{3}\Bigr).

Passo 5

Para achar v=(x,y) com T(v)=(12,1,-3), igualamos componente a componente:
\frac{8x-7y}{3}=12, \quad \frac{7x+y}{3}=1, \quad \frac{-x+2y}{3}=-3.

Passo 6

Multiplicando cada equação por 3 e resolvendo o sistema, obtemos
8x-7y=36,\quad 7x+y=3,\quad -x+2y=-9 \;\Longrightarrow\; x=1,\;y=-4.

Resposta

a) Para todo (x,y)\in\mathbb{R}^2,
T(x,y) =\Bigl(\tfrac{8x-7y}{3},\;\tfrac{7x+y}{3},\;\tfrac{-x+2y}{3}\Bigr).
b) O vetor v que satisfaz T(v)=(12,1,-3) é
v=(1,\,-4).

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