\left.4^{\circ}\right) \mathrm{O} ferro alfa \mathrm{Fe}-\alpha\left(\rho=7,86 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}\right) apresenta estrutura CCC à temperatura ambiente. À temperatura de 910^{\circ} \mathrm{C} o ferro adquire estrutura CFC.
a) Determine o raio atômico do Fe em nm .
b) Considerando que o raio atômico do ferro não é alterado com o aumento da temperatura, determine a variação de volume em percentual quando o Fe passa da estrutura CCC para CFC e indique se há contração ou expansão.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
Informações fornecidas:
  • Densidade do ferro alfa: \rho=7,86\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
  • Estrutura à temperatura ambiente: CCC (cúbica de corpo centrado, BCC).
  • À 910^\circ\mathrm{C} passa para CFC (cúbica de faces centradas, FCC).
  • Assume-se que o raio atômico do ferro não muda com a temperatura.
  • Massa atômica do ferro (valor padrão a usar): M=55,845\\ \mathrm{g/mol}.
  • Número de Avogadro: N_A=6,022\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}.
Perguntas:
a) Determine o raio atômico do Fe em nm (usando a estrutura CCC e a densidade dada).
b) Considerando raio constante, determine a variação percentual de volume quando o Fe passa de CCC para CFC e diga se há contração ou expansão.

Passo 2

Relação geral que liga densidade \rho, massa atômica M, número de átomos por célula unitária n, parâmetro de rede a e número de Avogadro N_A:
A massa de uma célula unitária é \dfrac{nM}{N_A} e o volume da célula é a^3. Logo
\rho=\frac{\dfrac{nM}{N_A}}{a^3} \quad\Rightarrow\quad a^3=\frac{nM}{\rho N_A}.
Explicando variáveis:
  • n = número de átomos por célula (para BCC/CCC n=2; para FCC/CFC n=4).
  • M = massa molar do elemento em \mathrm{g/mol}.
  • \rho = densidade em \mathrm{g/cm^3}.
  • N_A = 6,022\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}.
  • a = parâmetro de rede em cm (depois convertemos para nm).
Usaremos essa fórmula para achar a na estrutura BCC e daí o raio.

Passo 3

Cálculo do parâmetro de rede a para CCC (BCC), com n=2.
Calculemos a^3:
a^3=\frac{nM}{\rho N_A}=\frac{2\cdot 55,845}{7,86\cdot 6,022\times10^{23}}\\ \mathrm{cm^3}.
Faço as contas passo a passo:
2\cdot 55,845=111,690,
7,86\cdot 6,022\times10^{23}=4,733292\times10^{24}.
Portanto
a^3=\frac{111,690}{4,733292\times10^{24}}=2,3617\times10^{-23}\\ \mathrm{cm^3}.
Agora a raiz cúbica:
a=(2,3617\times10^{-23})^{1/3}=2,872\times10^{-8}\\ \mathrm{cm}.
Converter para nm ( 1\\ \mathrm{cm}=10^{7}\\ \mathrm{nm} ):
a=2,872\times10^{-8}\\ \mathrm{cm}\times10^{7}\\ \frac{\mathrm{nm}}{\mathrm{cm}}=0,2872\\ \mathrm{nm}.

Passo 4

Geometria BCC (CCC) e relação entre a e o raio atômico r.
Em BCC os átomos se tocam ao longo da diagonal do corpo do cubo. A diagonal do corpo tem comprimento \sqrt{3}\,a e atravessa dois raios de um átomo de canto e dois do átomo central, totalizando 4r. Assim:
\sqrt{3}\,a=4r \quad\Rightarrow\quad r=\frac{\sqrt{3}}{4}\,a.
Substituindo a=0,2872\\ \mathrm{nm}:
r=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 0,2872\\ \mathrm{nm}=0,4330127\cdot 0,2872\\ \mathrm{nm}=0,1243\\ \mathrm{nm}.
Arredondando razoavelmente (três algarismos significativos):
r\approx 0,124\\ \mathrm{nm}.

Passo 5

Agora passo para a estrutura CFC (FCC) mantendo r constante. Relação geométrica FCC entre a_{\text{fcc}} e r:
Em FCC os átomos se tocam ao longo da diagonal da face; a diagonal da face tem comprimento \sqrt{2}\,a_{\text{fcc}} e equivale a 4r. Assim:
\sqrt{2}\,a_{\text{fcc}}=4r \quad\Rightarrow\quad a_{\text{fcc}}=\frac{4r}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\,r.
Usando r=0,1243\\ \mathrm{nm}:
a_{\text{fcc}}=2\sqrt{2}\cdot 0,1243\\ \mathrm{nm}=2,828427\cdot 0,1243\\ \mathrm{nm}=0,3517\\ \mathrm{nm}.

Passo 6

Volumes das células unitárias e variação percentual.
Volume BCC:
V_{\text{bcc}}=a_{\text{bcc}}^3=(0,2872\\ \mathrm{nm})^3=0,02369\\ \mathrm{nm^3}.
Volume FCC:
V_{\text{fcc}}=a_{\text{fcc}}^3=(0,3517\\ \mathrm{nm})^3=0,04345\\ \mathrm{nm^3}.
Variação absoluta e percentual:
\Delta V=V_{\text{fcc}}-V_{\text{bcc}}=0,04345-0,02369=0,01976\\ \mathrm{nm^3}.
\%\\ \text{variação}=\frac{\Delta V}{V_{\text{bcc}}}\times 100\%=\frac{0,01976}{0,02369}\times100\%=83,5\%.çã
Portanto o volume da célula unitária aumenta em cerca de 83{,}5\%. Em termos físicos: é uma expansão (aumenta o volume).

Passo 7

Verificação rápida por razão analítica (checa o cálculo):
Relação direta entre a em FCC e BCC para mesmo r:
a_{\text{fcc}}/a_{\text{bcc}}=\frac{4r/\sqrt{2}}{4r/\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{3}{2}}.
Então a razão de volumes é
\left(\sqrt{\frac{3}{2}}\right)^3=\left(\frac{3}{2}\right)^{3/2}=1,8371\ldots
Isto corresponde a um aumento de 83{,}71\%, consistente com o cálculo numérico anterior (diferenças pequenas por arredondamento). Conclusão: expansão de aproximadamente 83{,}7\%.

Resposta

(a) r\approx 0,124\\ \mathrm{nm}
(b) Variação de volume \approx 83{,}7\%, ou seja, há expansão.

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