\mathbf{2}^{\boldsymbol{\circ}} ) Com relação à densidade teórica dos materiais:
Determine se o arranjo estrutural do Nióbio é CS, CCC, CFC, ou HC, sabendo-se que o raio atômico do Nb é igual a 0,1430 \mathrm{~nm} e sua densidade é igual a 8,57 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede que a gente identifique o arranjo cristalino entre as opções CS, CCC, CFC ou HC:
  • Raio atômico do nióbio: r=0{,}1430\\ \mathrm{nm}.
  • Densidade experimental do nióbio: \rho_{\text{exp}}=8{,}57\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
  • Pergunta: qual arranjo (CS, CCC, CFC ou HC) é compatível com esses dados?
Vou usar os dados do elemento nióbio (massa atômica) a partir da tabela periódica sem pedir nada a mais: massa atômica do Nb A=92{,}906\\ \mathrm{g/mol}. Constante de Avogadro N_A=6{,}022\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}.

Passo 2

Fórmula que liga densidade, número de átomos por cela e volume da cela:
\rho=\frac{n\,A}{V_c\,N_A},
onde
  • \rho é a densidade (g/cm ^3),
  • n é o número de átomos por cela unitária (depende da estrutura),
  • A é a massa atômica (g/mol),
  • V_c é o volume da cela unitária (cm ^3),
  • N_A é o número de Avogadro (mol ^{-1}).
Vou calcular para cada arranjo V_c a partir do raio r (convertido para cm) e dos vínculos geométricos típicos de cada rede, obter \rho teórica e comparar com \rho_{\text{exp}}=8{,}57\\ \mathrm{g/cm^{3}}.

Passo 3

Conversão de unidades:
r=0{,}1430\\ \mathrm{nm}=0{,}1430\times10^{-7}\\ \mathrm{cm}=1{,}430\times10^{-8}\\ \mathrm{cm}.
Relações raio–parâmetro de rede e n para cada estrutura (fórmulas padrão; explico porquê quando necessário):
  • CS (cúbica simples): a=2r,\quad n=1.
  • CCC (cúbica de corpo centrado, BCC): a(sobre a diagonal do corpo) dá 4r=\sqrt{3}\,a \Rightarrow a=\dfrac{4r}{\sqrt{3}},\quad n=2.
  • CFC (cúbica de faces centradas, FCC): sobre a diagonal da face 4r=\sqrt{2}\,a \Rightarrow a=\dfrac{4r}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\,r,\quad n=4.
  • HC (hexagonal compacta, HCP): átomos tocam na base, então a=2r. Para estrutura ideal usa-se c/a\approx\sqrt{8/3}\approx1{,}633. A cela hexagonal convencional tem n=6 átomos e volume
V_c=\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)a^{2}c.
(Na HCP a base é um hexágono com área \frac{3\sqrt{3}}{2}a^{2}; por isso esse fator.)

Passo 4

Parâmetro de rede:
a=2r=2\cdot(1{,}430\times10^{-8})=2{,}860\times10^{-8}\\ \mathrm{cm}.
Volume da cela:
V_c=a^{3}=(2{,}860\times10^{-8})^{3}=2{,}338\times10^{-23}\\ \mathrm{cm^{3}}.
Massa da cela:
m_{\text{cel}}=\frac{nA}{N_A}=\frac{1\cdot92{,}906}{6{,}022\times10^{23}}=1{,}542\times10^{-22}\\ \mathrm{g}.
Densidade teórica:
\rho_{\text{CS}}=\frac{m_{\text{cel}}}{V_c}=\frac{1{,}542\times10^{-22}}{2{,}338\times10^{-23}}=6{,}60\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
Conclusão parcial: CS produziria \rho\approx6{,}60\\ \mathrm{g/cm^{3}}, diferente de 8{,}57.

Passo 5

Parâmetro de rede:
a=\frac{4r}{\sqrt{3}}=\frac{4\cdot(1{,}430\times10^{-8})}{\sqrt{3}}=3{,}303\times10^{-8}\\ \mathrm{cm}.
Volume da cela:
V_c=a^{3}=(3{,}303\times10^{-8})^{3}=3{,}605\times10^{-23}\\ \mathrm{cm^{3}}.
Massa da cela ( n=2):
m_{\text{cel}}=\frac{2\cdot92{,}906}{6{,}022\times10^{23}}=3{,}085\times10^{-22}\\ \mathrm{g}.
Densidade teórica:
\rho_{\text{CCC}}=\frac{m_{\text{cel}}}{V_c}=\frac{3{,}085\times10^{-22}}{3{,}605\times10^{-23}}=8{,}56\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
Comparando: \rho_{\text{CCC}}\approx8{,}56\\ \mathrm{g/cm^{3}} é praticamente igual à densidade experimental 8{,}57\\ \mathrm{g/cm^{3}} (diferença por arredondamento mínima). Isso já indica fortemente estrutura CCC.

Passo 6

Parâmetro de rede:
a=2\sqrt{2}\,r=2\sqrt{2}\cdot(1{,}430\times10^{-8})=4{,}044\times10^{-8}\\ \mathrm{cm}.
Volume da cela:
V_c=a^{3}=(4{,}044\times10^{-8})^{3}=6{,}616\times10^{-23}\\ \mathrm{cm^{3}}.
Massa da cela ( n=4):
m_{\text{cel}}=\frac{4\cdot92{,}906}{6{,}022\times10^{23}}=6{,}170\times10^{-22}\\ \mathrm{g}.
Densidade teórica:
\rho_{\text{CFC}}=\frac{m_{\text{cel}}}{V_c}=\frac{6{,}170\times10^{-22}}{6{,}616\times10^{-23}}=9{,}33\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
Conclusão: CFC daria \rho\approx9{,}33\\ \mathrm{g/cm^{3}}, diferente de 8{,}57.

Passo 7

Usamos a=2r e c=1{,}633\,a. Primeiro:
a=2{,}860\times10^{-8}\\ \mathrm{cm},\qquad c=1{,}633\cdot a=4{,}670\times10^{-8}\\ \mathrm{cm}.
Volume da cela hexagonal convencional ( n=6):
V_c=\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)a^{2}c.
Calcule numericamente:
V_c=\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)(2{,}860\times10^{-8})^{2}(4{,}670\times10^{-8}) =9{,}925\times10^{-23}\\ \mathrm{cm^{3}}.
Massa da cela:
m_{\text{cel}}=\frac{6\cdot92{,}906}{6{,}022\times10^{23}}=9{,}258\times10^{-22}\\ \mathrm{g}.
Densidade teórica:
\rho_{\text{HC}}=\frac{m_{\text{cel}}}{V_c}=\frac{9{,}258\times10^{-22}}{9{,}925\times10^{-23}}=9{,}33\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
Observação: FCC e HCP são estruturas de empacotamento compacto e, com raio igual, dão densidades muito semelhantes (aqui idênticas dentro de arredondamento).

Passo 8

Resumo das densidades teóricas calculadas:
  • \rho_{\text{CS}}\approx6{,}60\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
  • \rho_{\text{CCC}}\approx8{,}56\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
  • \rho_{\text{CFC}}\approx9{,}33\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
  • \rho_{\text{HC}}\approx9{,}33\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
A densidade experimental dada \rho_{\text{exp}}=8{,}57\\ \mathrm{g/cm^{3}} coincide (dentro de erros de arredondamento/valores tabulados) com o valor teórico obtido para a estrutura CCC (cúbica de corpo centrado). Portanto o arranjo estrutural do nióbio é CCC.

Resposta

CCC

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