5^{\circ} ) Determine o módulo do campo elétrico no ponto ( \hat{\boldsymbol{\imath}}-3 \hat{\boldsymbol{\jmath}}+2 \widehat{\boldsymbol{k}} ) se o potencial elétrico é dado por V=2 x y^{2} z^{3}, em que V está em volts e x , y e z estão em metros?

Passo 1

O enunciado dá o potencial elétrico
V(x,y,z) = 2\,x\,y^{2}\,z^{3}
e pede o módulo do campo elétrico em P(1,-3,2), onde P vem de \hat{\imath}-3\,\hat{\jmath}+2\,\hat{k}. O conteúdo aqui é a relação entre potencial e campo elétrico, que é
\mathbf{E} = -\nabla V.

Passo 2

Vamos calcular o gradiente de V. As derivadas parciais são
\frac{\partial V}{\partial x} = 2\,y^{2}\,z^{3}, \qquad \frac{\partial V}{\partial y} = 2\,x\cdot 2y\cdot z^{3} = 4\,x\,y\,z^{3}, \qquad \frac{\partial V}{\partial z} = 2\,x\,y^{2}\cdot 3z^{2} = 6\,x\,y^{2}\,z^{2}.
Logo,
\nabla V = \bigl(2\,y^{2}\,z^{3}\bigr)\,\hat{\imath} + \bigl(4\,x\,y\,z^{3}\bigr)\,\hat{\jmath} + \bigl(6\,x\,y^{2}\,z^{2}\bigr)\,\hat{k}.

Passo 3

O campo elétrico é \mathbf{E}=-\nabla V, então
\mathbf{E}(x,y,z) = \bigl(-2\,y^{2}\,z^{3}\bigr)\,\hat{\imath} + \bigl(-4\,x\,y\,z^{3}\bigr)\,\hat{\jmath} + \bigl(-6\,x\,y^{2}\,z^{2}\bigr)\,\hat{k}.
Em P(1,-3,2) temos
E_x = -2\cdot(-3)^{2}\cdot2^{3} = -144, \quad E_y = -4\cdot1\cdot(-3)\cdot2^{3} = +96, \quad E_z = -6\cdot1\cdot(-3)^{2}\cdot2^{2} = -216.
Portanto
\mathbf{E}(1,-3,2) = -144\,\hat{\imath} + 96\,\hat{\jmath} -216\,\hat{k} \quad(\text{V/m}).

Passo 4

O módulo de \mathbf{E} é
\bigl\lvert \mathbf{E}\bigr\rvert = \sqrt{(-144)^{2} + 96^{2} + (-216)^{2}} = \sqrt{20736 + 9216 + 46656} = \sqrt{76608}.
Fatorando 76608 = 64 \times 1197 e extraindo a raiz, ou calculando numericamente,
\bigl\lvert \mathbf{E}\bigr\rvert \approx 276{,}8\\ \text{V/m}.

Resposta

O módulo do campo elétrico em P é aproximadamente 276{,}8 V/m.

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