Mostre,a partir da Equação(8.5),que a densidade de corrente de probabilidade J é nula para x>0 de um potencial degrau quântico.
\psi(x)=D e^{-K x}, \quad x>0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, no potencial degrau quântico para x>0, a densidade de corrente de probabilidade J se anula. O conteúdo envolve a definição de densidade de corrente em mecânica quântica e o uso da forma da função de onda decaindo exponencialmente em x>0.

Passo 2

A densidade de corrente de probabilidade em uma dimensão é dada pela Equação (8.5):
J = \frac{\hbar}{2m i}\Bigl[\psi^*(x)\,\frac{d\psi(x)}{dx} \;-\;\psi(x)\,\frac{d\psi^*(x)}{dx}\Bigr].

Passo 3

Para x>0 a função de onda vale
\psi(x) = D\,e^{-K x},
onde K é real (decaimento exponencial). Logo
\psi^*(x)=D^*\,e^{-K x},\quad \frac{d\psi}{dx}=-K\,D\,e^{-K x},\quad \frac{d\psi^*}{dx}=-K\,D^*\,e^{-K x}.

Passo 4

Substituindo esses resultados em J, obtém-se
J = \frac{\hbar}{2m i}\Bigl[D^*e^{-Kx}(-K D e^{-Kx}) \;-\; D e^{-Kx}(-K D^* e^{-Kx})\Bigr] = \frac{\hbar}{2m i}\bigl(-K|D|^2 e^{-2Kx} + K|D|^2 e^{-2Kx}\bigr).
Como os dois termos se cancelam, temos J=0.

Resposta

Para x>0, a densidade de corrente de probabilidade é
J = 0.

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