Mostre que A e B têm o mesmo módulo de um potencial degrau quântico.
A=\frac{k+i K}{2 k} D, B=\frac{k-i K}{2 k} D.
(8.10)

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos os coeficientes
A = \frac{k + iK}{2k}\,D, \quad B = \frac{k - iK}{2k}\,D
e queremos mostrar que \lvert A\rvert = \lvert B\rvert. O conteúdo principal aqui é a definição de módulo de número complexo e a relação com o conjugado.

Passo 2

Usamos que \lvert zw\rvert = \lvert z\rvert\,\lvert w\rvert. Assim,
\lvert A\rvert = \Bigl\lvert \tfrac{k + iK}{2k}\,D\Bigr\rvert = \frac{\lvert k + iK\rvert}{2k}\,\lvert D\rvert
e de modo análogo
\lvert B\rvert = \Bigl\lvert \tfrac{k - iK}{2k}\,D\Bigr\rvert = \frac{\lvert k - iK\rvert}{2k}\,\lvert D\rvert.

Passo 3

Como k e K são reais, k - iK é o conjugado de k + iK. Logo
\lvert k + iK\rvert = \lvert k - iK\rvert = \sqrt{k^{2} + K^{2}}\,.

Passo 4

Substituindo esse resultado em \lvert A\rvert e \lvert B\rvert, obtemos
\lvert A\rvert = \frac{\sqrt{k^{2} + K^{2}}}{2k}\,\lvert D\rvert \quad\text{e}\quad \lvert B\rvert = \frac{\sqrt{k^{2} + K^{2}}}{2k}\,\lvert D\rvert.
Portanto,
\lvert A\rvert = \lvert B\rvert.

Resposta

\lvert A\rvert = \lvert B\rvert.

Exercícios relacionados