d) Se r=3 e Q_{0}=2 Q_{L}, encontre o tempo T após o qual a quantidade de sal é 2 \% de Q_{L}.

Passo 1

O enunciado faz parte de um problema de mistura em que a quantidade de sal no tanque satisfaz a equação
Q(t)=Q_{L}+\bigl(Q_{0}-Q_{L}\bigr)e^{-r\,t},
e queremos achar o tempo T após o qual a quantidade de sal está a 2\% de Q_{L}, ou seja
\bigl|Q(t)-Q_{L}\bigr|\le 0{,}02\,Q_{L}.
Aqui foi dado r=3 e Q_{0}=2\,Q_{L}.

Passo 2

Calcule o desvio em relação ao equilíbrio:
\bigl|Q(t)-Q_{L}\bigr|=\bigl|Q_{0}-Q_{L}\bigr|\,e^{-r\,t} =(2\,Q_{L}-Q_{L})\,e^{-3t} =Q_{L}\,e^{-3t}.

Passo 3

Imponha a condição de 2\% de Q_{L}:
Q_{L}\,e^{-3T}=0{,}02\,Q_{L} \quad\Longrightarrow\quad e^{-3T}=0{,}02.

Passo 4

Resolva para T:
-3T=\ln\bigl(0{,}02\bigr) \quad\Longrightarrow\quad T=-\frac{1}{3}\ln\bigl(0{,}02\bigr) =\frac{1}{3}\ln\bigl(\tfrac{1}{0{,}02}\bigr) =\frac{1}{3}\ln(50).

Resposta

T=\frac{1}{3}\ln(50)\approx1{,}30.

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