Encontre o menor limite superior e o maior limite inferior (se existirem) dos seguintes conjuntos. Também decida quais conjuntos têm maiores e menores elementos (isto é, decida quando o menor limite superior e o maior limite inferior pertencem ao conjunto).
e .

Passo 1

Estamos buscando o maior limite inferior (ínfimo) e o menor limite superior (supremo) do conjunto S = {x ∈ ℝ : x < 0 e x² + x − 1 < 0}. Vamos usar teoria de supremo e ínfimo junto com resolução de inequação quadrática.

Passo 2

Primeiro resolvemos a inequação x² + x − 1 < 0. As raízes da equação x² + x − 1 = 0 são dadas por
x = -1 pm raiz52
Como o coeficiente de x² é positivo, a parábola fica abaixo do eixo x entre essas raízes, isto é, para x ∈ (-1 - raiz52,,-1 + raiz52).

Passo 3

Em seguida intersectamos com a condição x < 0. Como -1 + raiz52 approx 0,618 > 0, o conjunto fica restrito a
S = (-1 - raiz52,,0)

Passo 4

De S = (-1 - raiz52, 0) segue que
inf S = -1 - raiz52 e sup S = 0.
Como o intervalo é aberto em ambas as extremidades, nenhum desses valores pertence a S, logo não existe mínimo nem máximo no conjunto.

Resposta

inf S = -1 - raiz52,; sup S = 0 Nenhum desses limites pertence a S, portanto S não tem mínimo nem máximo.

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