Encontre o menor limite superior e o maior limite inferior (se existirem) dos seguintes conjuntos. Também decida quais conjuntos têm maiores e menores elementos (isto é, decida quando o menor limite superior e o maior limite inferior pertencem ao conjunto).
e
.
Passo 1
Estamos buscando o maior limite inferior (ínfimo) e o menor limite superior (supremo) do conjunto S = {x ∈ ℝ : x < 0 e x² + x − 1 < 0}. Vamos usar teoria de supremo e ínfimo junto com resolução de inequação quadrática.
Passo 2
Primeiro resolvemos a inequação x² + x − 1 < 0. As raízes da equação x² + x − 1 = 0 são dadas por
Como o coeficiente de x² é positivo, a parábola fica abaixo do eixo x entre essas raízes, isto é, para x ∈
Passo 3
Em seguida intersectamos com a condição x < 0. Como
, o conjunto fica restrito a
Passo 4
De S =
segue que
e
.
Como o intervalo é aberto em ambas as extremidades, nenhum desses valores pertence a S, logo não existe mínimo nem máximo no conjunto.
Como o intervalo é aberto em ambas as extremidades, nenhum desses valores pertence a S, logo não existe mínimo nem máximo no conjunto.