Determine o comprimento da curva dada.
r(t)=12 t i+8 t^1 / 2 j+3 t^2 k, 0 <= t <= 1

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva r(t)=12ti+8raizt,j+3t^2k no intervalo 0<= t<=1. O conteúdo é o cálculo de comprimento de curva em 3D, para o qual precisamos da fórmula L=integrala^b|r'(t)|,dt.

Passo 2

Calculamos a derivada componente a componente: r'(t)=l(12,,4t^-1/2,,6tr). Aqui usamos que d(8t^1/2)/dt=8cdottfrac12t^-1/2=4t^-1/2 e d(3t^2)/dt=6t.
Obtemos o módulo da velocidade:
|r'(t)|=raiz12^2+l(4t^-1/2r)^2+(6t)^2=raiz144+16t+36t^2
Logo o comprimento é
L=integral0^1raiz144+16t+36t^2,dt

Passo 3

Para facilitar a integral podemos usar a substituição t=u^2, logo dt=2u,du e os limites continuam u=0 a u=1. Isso leva a
L=4integral0^1raiz9u^6+36u^2+4,du

Passo 4

Essa integral não tem primitiva elementar simples, então avaliamos numericamente (por ex. regra de Simpson) e encontramos o valor aproximado abaixo.

Resposta

Lapprox15,36

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