Determine o comprimento da curva dada.
Passo 1
O enunciado pede o comprimento de arco da curva
no intervalo
. O conteúdo é o cálculo de comprimento de curva em 3D, para o qual precisamos da fórmula
.
Passo 2
Calculamos a derivada componente a componente:
. Aqui usamos que
e
.
Obtemos o módulo da velocidade:
Obtemos o módulo da velocidade:
Logo o comprimento é
Passo 3
Para facilitar a integral podemos usar a substituição
, logo
e os limites continuam
a
. Isso leva a
Passo 4
Essa integral não tem primitiva elementar simples, então avaliamos numericamente (por ex. regra de Simpson) e encontramos o valor aproximado abaixo.