- Dois dados usuais e não viciados são lançados. Sabe-se que os números observados são ímpares. Então, a probabilidade de que a soma deles seja 8 é:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte:
- Dois dados comuns e honestos são lançados (os resultados são ordenados: primeiro dado, segundo dado).
- Sabe-se que os números observados são ímpares (essa é a condição).
- Pergunta: qual a probabilidade de que a soma dos dois números seja 8, dado que ambos são ímpares?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Os valores ímpares possíveis em cada dado são
. - Sem a condição haveria
resultados ordenados igualmente prováveis, mas aqui temos a informação adicional “ambos ímpares”, que reduz o espaço de possibilidades.
Passo 2
Construir o espaço amostral apropriado segundo a condição “ambos ímpares”.
Cada dado, sob a condição, pode dar
ou
, ou seja
possibilidades para o primeiro dado e
para o segundo. Como os lançamentos são independentes, o número de resultados ordenados possíveis sob a condição é
Esses
resultados são todos igualmente prováveis porque os dados são honestos e a condição apenas restringe as faces permitidas.
Passo 3
Contar os resultados favoráveis (soma igual a
) entre esses
resultados.
Listando pares de ímpares que somam
: os ímpares disponíveis são
. As somas possíveis:
-
, , , -
, , , -
, , .
Observa-se que apenas os pares
e
têm soma
. Portanto existem
resultados favoráveis.
Passo 4
Calcular a probabilidade condicionada como razão entre favoráveis e total do espaço condicionado:
Passo 5
(Aula curta sobre a fórmula de probabilidade condicional e verificação alternativa)
A fórmula geral da probabilidade condicional é
onde
é o evento "soma
" e
é o evento “ambos ímpares”.
- Contando em todo o espaço de
resultados, os resultados com soma são — total resultados; entre eles, os que também satisfazem “ambos ímpares” são apenas e : então . - O evento
(“ambos ímpares”) tem resultados entre , logo .
Aplicando a fórmula:
confirmando o resultado anterior.
Passo 6
Resumo e incentivo: portanto, dado que ambos os dados mostraram números ímpares, a chance de a soma ser
é
. Está certo — boa sacada usar tanto a contagem direta no espaço condicionado quanto a fórmula de probabilidade condicional para checar!
Resposta
(alternativa (c))