1^{\circ} - Uma urna contém 5 bolas vermelhas, 3 bolas azuis e 2 bolas verdes. Duas bolas são retiradas ao acaso, sem reposição. A respeito dessa situação, assinale as alternativas corretas: (2,0)
a) O espaço amostral possui 10 elementos correspondente às 10 bolas.
b) O evento “retirar duas bolas vermelhas” possui 10 elementos.
c) O número total de maneiras de retirar 2 bolas é dado por \binom{10}{2}
d) O evento complementar de "retirar pelo menos uma bola azul é retirar duas bolas azuis.
e) A probabilidade de retirar duas bolas verdes é 2,22 \%

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tudo que vem do enunciado, sem começar a resolver ainda):
  • Dados do enunciado:
    • 5 bolas vermelhas.
    • 3 bolas azuis.
    • 2 bolas verdes.
    • Duas bolas são retiradas ao acaso, sem reposição.
  • O enunciado apresenta as alternativas a)–e) e pede que assinale as alternativas corretas. As alternativas são (transcritas):
    • a) O espaço amostral possui 10 elementos correspondente às 10 bolas.
    • b) O evento “retirar duas bolas vermelhas” possui 10 elementos.
    • c) O número total de maneiras de retirar 2 bolas é dado por \binom{10}{2}.
    • d) O evento complementar de “retirar pelo menos uma bola azul” é retirar duas bolas azuis.
    • e) A probabilidade de retirar duas bolas verdes é 2{,}22\%.

Passo 2

Conceitos fundamentais que vamos usar (explicados devagar e com exemplos):
  • Quando retiramos 2 bolas “sem reposição” e sem ordenar (a ordem em que saem não importa), cada resultado é um subconjunto de 2 bolas dentre as 10. O número de subconjuntos de tamanho k de um conjunto com n elementos é dado pelo coeficiente binomial
\binom{n}{k}=\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}.
Aqui n é o total de objetos e k o tamanho do grupo escolhido. Exemplo rápido: \binom{5}{2}=\dfrac{5\cdot4}{2}=10.
  • Probabilidade clássica (quando todos os pares são igualmente prováveis): para um evento E,
P(E)=\frac{\text{nº de resultados favoráveis a }E}{\text{nº total de resultados no espaço amostral}}.ºáºç
  • Alternativa equivalente para calcular uma probabilidade sem reposição é usar probabilidades condicionais sequenciais: por exemplo, a probabilidade de tirar duas verdes em sequência é
P(\text{verde, depois verde})=\frac{2}{10}\cdot\frac{1}{9}=\frac{2}{90}=\frac{1}{45}.
Isso dá o mesmo resultado que contar combinações.

Passo 3

Analisando a alternativa (a): “O espaço amostral possui 10 elementos correspondente às 10 bolas.”
  • O experimento é “retirar duas bolas”. O espaço amostral deve listar todos os resultados possíveis do experimento inteiro (duas bolas), e não apenas as bolas isoladas.
  • Se a ordem não importa, o número total de resultados é \binom{10}{2} (pares de bolas), que calcularemos depois; se a ordem importasse, seria 10\cdot9.
  • Portanto afirmar que o espaço amostral tem apenas 10 elementos está incorreto para o experimento de retirar duas bolas.
  • Conclusão: (a) é falsa.

Passo 4

Analisando a alternativa (b): “O evento ‘retirar duas bolas vermelhas’ possui 10 elementos.”
  • As bolas vermelhas são 5 ao todo. O número de maneiras de escolher 2 bolas vermelhas (sem ordem) entre as 5 é
\binom{5}{2}=\frac{5\cdot4}{2}=10.
  • Esse cálculo dá exatamente 10, então o evento “duas vermelhas” tem 10 resultados possíveis (assumindo que contamos resultados como pares não ordenados).
  • Conclusão: (b) é verdadeira.

Passo 5

Analisando a alternativa (c): “O número total de maneiras de retirar 2 bolas é dado por \binom{10}{2}.”
  • Como já discutido, quando retiramos 2 bolas sem reposição e sem considerar ordem, o número total de pares possíveis é
\binom{10}{2}=\frac{10\cdot9}{2}=45.
  • Logo a expressão \binom{10}{2} realmente representa o número total de maneiras de retirar 2 bolas sem ordem.
  • Conclusão: (c) é verdadeira.

Passo 6

Analisando a alternativa (d): “O evento complementar de ‘retirar pelo menos uma bola azul’ é retirar duas bolas azuis.”
  • O evento “retirar pelo menos uma bola azul” significa: 1 azul ou 2 azuis.
  • O evento complementar é: “não ocorre ao menos uma azul”, ou seja “nenhuma bola azul” — isto é, zero azuis (ambas as bolas são não-azuis: vermelhas ou verdes).
  • O enunciado diz que o complementar seria “retirar duas bolas azuis”, mas isso descreve um subconjunto de “retirar pelo menos uma azul”, não o complementar.
  • Por exemplo, número de maneiras de não tirar nenhuma azul: há 5+2=7 bolas não-azuis, então \binom{7}{2}=21 maneiras; já “duas azuis” tem \binom{3}{2}=3 maneiras — claramente diferentes.
  • Conclusão: (d) é falsa.

Passo 7

Analisando a alternativa (e): “A probabilidade de retirar duas bolas verdes é 2{,}22\%.”
  • Contagem via combinações: número favorável = escolher as 2 verdes entre as 2, ou seja
\binom{2}{2}=1.
  • Número total de pares = \binom{10}{2}=45.
  • Assim a probabilidade é
P(\text{2 verdes})=\frac{1}{45}.
  • Convertendo para porcentagem:
\frac{1}{45}\approx0{,}022222\ldots = 2{,}222\ldots\% \approx 2{,}22\%.
  • Alternativa equivalente pelo método sequencial:
P=\frac{2}{10}\cdot\frac{1}{9}=\frac{2}{90}=\frac{1}{45},
mesmo resultado.
  • Conclusão: (e) é verdadeira (a aproximação 2{,}22\% está correta).

Passo 8

Resumo final das verificações:
  • (a) falsa
  • (b) verdadeira
  • (c) verdadeira
  • (d) falsa
  • (e) verdadeira

Resposta

b)
c)
e)

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