- Uma urna contém 5 bolas vermelhas, 3 bolas azuis e 2 bolas verdes. Duas bolas são retiradas ao acaso, sem reposição. A respeito dessa situação, assinale as alternativas corretas:
a) O espaço amostral possui 10 elementos correspondente às 10 bolas.
b) O evento “retirar duas bolas vermelhas” possui 10 elementos.
c) O número total de maneiras de retirar 2 bolas é dado por
d) O evento complementar de "retirar pelo menos uma bola azul é retirar duas bolas azuis.
e) A probabilidade de retirar duas bolas verdes é
a) O espaço amostral possui 10 elementos correspondente às 10 bolas.
b) O evento “retirar duas bolas vermelhas” possui 10 elementos.
c) O número total de maneiras de retirar 2 bolas é dado por
d) O evento complementar de "retirar pelo menos uma bola azul é retirar duas bolas azuis.
e) A probabilidade de retirar duas bolas verdes é
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tudo que vem do enunciado, sem começar a resolver ainda):
-
Dados do enunciado:
- Há
bolas vermelhas. - Há
bolas azuis. - Há
bolas verdes. - Duas bolas são retiradas ao acaso, sem reposição.
- Há
-
O enunciado apresenta as alternativas a)–e) e pede que assinale as alternativas corretas. As alternativas são (transcritas):
- a) O espaço amostral possui
elementos correspondente às bolas. - b) O evento “retirar duas bolas vermelhas” possui
elementos. - c) O número total de maneiras de retirar
bolas é dado por . - d) O evento complementar de “retirar pelo menos uma bola azul” é retirar duas bolas azuis.
- e) A probabilidade de retirar duas bolas verdes é
.
- a) O espaço amostral possui
Passo 2
Conceitos fundamentais que vamos usar (explicados devagar e com exemplos):
- Quando retiramos
bolas “sem reposição” e sem ordenar (a ordem em que saem não importa), cada resultado é um subconjunto de bolas dentre as . O número de subconjuntos de tamanho de um conjunto com elementos é dado pelo coeficiente binomial
Aqui
é o total de objetos e
o tamanho do grupo escolhido. Exemplo rápido:
.
- Probabilidade clássica (quando todos os pares são igualmente prováveis): para um evento
,
- Alternativa equivalente para calcular uma probabilidade sem reposição é usar probabilidades condicionais sequenciais: por exemplo, a probabilidade de tirar duas verdes em sequência é
Isso dá o mesmo resultado que contar combinações.
Passo 3
Analisando a alternativa (a): “O espaço amostral possui
elementos correspondente às
bolas.”
- O experimento é “retirar duas bolas”. O espaço amostral deve listar todos os resultados possíveis do experimento inteiro (duas bolas), e não apenas as bolas isoladas.
- Se a ordem não importa, o número total de resultados é
(pares de bolas), que calcularemos depois; se a ordem importasse, seria . - Portanto afirmar que o espaço amostral tem apenas
elementos está incorreto para o experimento de retirar duas bolas. - Conclusão: (a) é falsa.
Passo 4
Analisando a alternativa (b): “O evento ‘retirar duas bolas vermelhas’ possui
elementos.”
- As bolas vermelhas são
ao todo. O número de maneiras de escolher bolas vermelhas (sem ordem) entre as é
- Esse cálculo dá exatamente
, então o evento “duas vermelhas” tem resultados possíveis (assumindo que contamos resultados como pares não ordenados). - Conclusão: (b) é verdadeira.
Passo 5
Analisando a alternativa (c): “O número total de maneiras de retirar
bolas é dado por
.”
- Como já discutido, quando retiramos
bolas sem reposição e sem considerar ordem, o número total de pares possíveis é
- Logo a expressão
realmente representa o número total de maneiras de retirar bolas sem ordem. - Conclusão: (c) é verdadeira.
Passo 6
Analisando a alternativa (d): “O evento complementar de ‘retirar pelo menos uma bola azul’ é retirar duas bolas azuis.”
- O evento “retirar pelo menos uma bola azul” significa:
azul ou azuis. - O evento complementar é: “não ocorre ao menos uma azul”, ou seja “nenhuma bola azul” — isto é, zero azuis (ambas as bolas são não-azuis: vermelhas ou verdes).
- O enunciado diz que o complementar seria “retirar duas bolas azuis”, mas isso descreve um subconjunto de “retirar pelo menos uma azul”, não o complementar.
- Por exemplo, número de maneiras de não tirar nenhuma azul: há
bolas não-azuis, então maneiras; já “duas azuis” tem maneiras — claramente diferentes. - Conclusão: (d) é falsa.
Passo 7
Analisando a alternativa (e): “A probabilidade de retirar duas bolas verdes é
.”
- Contagem via combinações: número favorável = escolher as
verdes entre as , ou seja
- Número total de pares =
. - Assim a probabilidade é
- Convertendo para porcentagem:
- Alternativa equivalente pelo método sequencial:
mesmo resultado.
- Conclusão: (e) é verdadeira (a aproximação
está correta).
Passo 8
Resumo final das verificações:
- (a) falsa
- (b) verdadeira
- (c) verdadeira
- (d) falsa
- (e) verdadeira
Resposta
b)
c)
e)
c)
e)