3^{\circ} ) Durante uma aula de Física, um estudante afirma que a soma de duas forças com módulos de 12 e 16 N sempre será 28 N . Uma colega da sala discorda dizendo que 28 N é apenas um dos valores possíveis para a soma dessas forças e que o resultado depende de outras informações além do módulo. Qual dos estudantes está argumentando corretamente? Justifique sua resposta utilizando a soma de vetores.

Passo 1

O enunciado dá duas forças (vetores) com módulos 12 N e 16 N e pergunta qual estudante está certo: o que diz que a soma é sempre 28 N ou a colega que diz que 28 N é apenas um dos valores possíveis e que depende de mais informações. Informações relevantes:
  • Módulos: A=12\\ \text{N} e B=16\\ \text{N}.
  • Não foi dada a direção relativa entre as duas forças.
    O que é pedido: decidir quem está certo e justificar usando a soma de vetores.

Passo 2

Lembrete básico sobre vetores/forças (explicação didática): forças são vetores, ou seja, têm módulo (tamanho), direção e sentido. Para somar dois vetores \vec{A} e \vec{B} usa-se a regra do triângulo (coloca-se a cauda de \vec{B} na cabeça de \vec{A} ou vice-versa) ou a do paralelogramo. O resultado é o vetor resultante \vec{R}=\vec{A}+\vec{B}. O módulo de \vec{R} depende do ângulo \theta entre \vec{A} e \vec{B}. Vou definir:
  • A=|\vec{A}|=12\\ \text{N},
  • B=|\vec{B}|=16\\ \text{N},
  • \theta = ângulo entre \vec{A} e \vec{B} ( 0\le\theta\le\pi ).

Passo 3

Derivação da fórmula do módulo do resultante (usar Lei dos Cossenos): colocando \vec{A} e \vec{B} formando um triângulo cujo terceiro lado é \vec{R}, a Lei dos Cossenos dá a relação entre os comprimentos:
R^{2}=A^{2}+B^{2}+2AB\cos\theta
onde R=|\vec{R}|. Aqui:
  • A^{2} e B^{2} são os quadrados dos módulos dados,
  • 2AB\cos\theta aparece porque a componente na direção combinada depende do cosseno do ângulo entre eles.
    Essa fórmula é a base para ver como R varia com \theta.

Passo 4

Encontrar os valores extremos possíveis de R variando \theta (explicação passo a passo): como \cos\theta varia no intervalo [-1,1], substituímos os extremos na fórmula.
  • Máximo quando \cos\theta=1 (vetores paralelos e mesmo sentido, \theta=0):
R_{\max}=\sqrt{A^{2}+B^{2}+2AB\cdot 1}=\sqrt{(A+B)^{2}}=A+B.
Com A=12 e B=16 temos
R_{\max}=12+16=28\\ \text{N}.
  • Mínimo quando \cos\theta=-1 (vetores colineares e sentidos opostos, \theta=\pi):
R_{\min}=\sqrt{A^{2}+B^{2}+2AB\cdot(-1)}=\sqrt{(A-B)^{2}=}|A-B|.
Com os valores dados:
R_{\min}=|12-16|=4\\ \text{N}.
Como \cos\theta assume todos os valores entre -1 e 1, R pode assumir qualquer valor no intervalo fechado [4,\;28] N.

Passo 5

Exemplo concreto para intuir (didático e útil na prova): se \theta=90^\circ (vetores perpendiculares), então \cos\theta=0 e
R=\sqrt{A^{2}+B^{2}}=\sqrt{12^{2}+16^{2}}=\sqrt{144+256}=\sqrt{400}=20\\ \text{N}.
Isso mostra outro valor possível diferente de 28 e de 4, reforçando que o resultado depende do ângulo entre as forças.

Passo 6

Interpretação final e resposta ao enunciado (tom de incentivo): a colega está correta — 28 N é apenas um caso especial (quando as duas forças têm a mesma direção e mesmo sentido). Sem informação sobre a direção relativa das forças o valor da soma não é único; pode variar continuamente entre 4 N e 28 N dependendo do ângulo. Fica tranquilo: na prova, se pedirem o módulo da soma de duas forças dadas apenas pelos módulos, explique com a fórmula acima ou mencione os casos extremos (soma direta e subtração direta).

Resposta

A colega está correta. O módulo da soma pode variar entre 4\\ \text{N} e 28\\ \text{N}; 28\\ \text{N} ocorre apenas quando as forças têm a mesma direção e mesmo sentido.

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