- 6 Pretende-se usar duas placas de metal com
de área para construir um capacitor de placas paralelas. (a) Qual deve ser a distância entre as placas para que a capacitância do dispositivo seja 1,00 F? (b) O dispositivo é fisicamente viável?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas e dá dados claros. Vou listar isso para a gente ficar alinhado:
- Dados fornecidos:
- Área das placas:
. - Capacitância desejada:
.
- Área das placas:
- Perguntas:
- (a) Qual deve ser a distância
entre as placas para que o capacitor de placas paralelas tenha ? - (b) O dispositivo é fisicamente viável?
- (a) Qual deve ser a distância
Observações úteis que vêm do enunciado (não estou resolvendo ainda, só anotando): as placas são metálicas e paralelas; não foi especificado o material entre as placas, então a hipótese natural é considerar vácuo ou ar entre as placas (vou calcular para vácuo — isso dá o caso mais simples e o limite físico mais favorável para a capacitância).
Passo 2
A fórmula que relaciona capacitância de um capacitor de placas paralelas com suas dimensões e a permissividade do meio entre as placas é a seguinte:
Explicando cada símbolo dessa fórmula:
-
é a capacitância (em farads, ). -
é a permissividade do meio entre as placas (em ). Para vácuo, , onde é a permissividade elétrica do vácuo. -
é a área de cada placa (em ). -
é a separação entre as placas (em ).
A constante
tem valor (aproximado):
Justificativa rápida: essa é a expressão padrão da capacitância ideal de placas paralelas quando os efeitos de borda (fringing) são desprezíveis e o meio é homogêneo. Vou usar esse modelo porque o enunciado fala explicitamente em “placas paralelas” e pede um valor de
.
Passo 3
Isolo
na fórmula para encontrar a separação necessária:
Aqui substituo
pelo valor pedido,
pela área dada e
pela constante do vácuo.
Passo 4
Agora faço a substituição numérica passo a passo:
Portanto
Arredondando para três algarismos significativos:
Conversões úteis para termos noção do tamanho:
- em picômetros (
), onde : - em ångströms (
), onde :
Passo 5
Agora vou discutir a viabilidade física (parte (b)). Vou explicar devagar, tipo papo entre amigos, porque essa parte é importante para você entender por que o número que acabamos de calcular é problemático.
-
Escala atômica:
- Distâncias atômicas típicas são da ordem de
. - A separação que encontramos é
, ou seja, cerca de um décimo de um ångström. Isso é menor que o raio eletrônico e que o espaçamento entre núcleos/átomos em sólidos. Em outras palavras, as duas placas estariam “invadindo” a estrutura atômica uma da outra — não dá para manter duas superfícies metálicas separadas por uma distância menor que o próprio tamanho dos átomos.
- Distâncias atômicas típicas são da ordem de
-
Rugosidade e precisão de fabricação:
- Mesmo polindo muito bem, superfícies metálicas têm rugosidade e irregularidades na escala de dezenas a centenas de nanômetros (ou ao menos alguns angströms). Manter uma separação homogênea de alguns picômetros é totalmente impossível com técnicas mecânicas macroscópicas.
-
Efeitos quânticos e tunelamento:
- A essa escala, efeitos quânticos entram com força: elétrons podem fazer tunelamento entre as placas (curto elétrico quântico), e forças como a interação de van der Waals / força de Casimir atraem fortemente as placas, fazendo-as colapsar.
-
Rigidez mecânica e colapso:
- Forças eletrostáticas entre placas muito próximas e imperfeições mecânicas fariam com que as placas se deformassem e se tocassem, gerando curto.
-
Uso de dielétricos não salva sozinhos:
- Poderíamos pensar em colocar um material dielétrico com alta constante relativa
para aumentar e, assim, permitir maior. Para ter uma ideia numérica: se quiséssemos (um mícron, já muito fino mas tecnicamente mensurável), precisaríamos de ou seja, . Materiais com constantes relativas tão grandes estão fora do alcance da maioria dos dielétricos sólidos (alguns materiais exóticos têm valores elevados, mas não tanto, e além disso a espessura de um dielétrico de 1 µm com tão alta não elimina os outros problemas — perdas, quebras e estabilidade). Se aceitarmos uma separação de , ainda assim precisaríamos de , um valor alto mas possível em alguns materiais — porém fabricar uma lâmina dielétrica homogênea de e colocá‑la entre duas placas metálicas uniformes é praticamente impossível e novamente entramos em regimes onde a descrição clássica falha.
- Poderíamos pensar em colocar um material dielétrico com alta constante relativa
-
Solução prática real: supercapacitores e eletrodos porosos
- Dispositivos que têm capacitâncias de ordem de
existem (supercapacitores), porém não são capacitores simples de placas paralelas macroscópicas. Eles usam eletrodos porosos com área superficial efetiva enorme (metros quadrados de área interna) e um “efeito de dupla camada” onde a separação efetiva de cargas é da ordem de nanômetros. Ou seja, a geometria e a física envolvida são bem diferentes.
- Dispositivos que têm capacitâncias de ordem de
Conclusão dessa discussão: construir um capacitor plano e macroscópico com
e
exigiria uma separação entre placas muito menor que a escala atômica e, portanto, é fisicamente irrealizável pelas razões listadas (estrutura atômica, rugosidade, tunelamento, colapso mecânico, limites de dielétricos). Para obter 1 F na prática usa‑se outra estratégia (aumentar área efetiva drasticamente e aproveitar fenômenos de superfície).
Resposta
(a)
(aproximadamente
).
(b) Não; não é fisicamente viável: a separação exigida é menor que a escala atômica, levando a problemas com rugosidade, tunelamento quântico, forças de atração e impossibilidade prática de fabricação.
(b) Não; não é fisicamente viável: a separação exigida é menor que a escala atômica, levando a problemas com rugosidade, tunelamento quântico, forças de atração e impossibilidade prática de fabricação.