• 6 Pretende-se usar duas placas de metal com 1,00 \mathrm{~m}^{2} de área para construir um capacitor de placas paralelas. (a) Qual deve ser a distância entre as placas para que a capacitância do dispositivo seja 1,00 F? (b) O dispositivo é fisicamente viável?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas e dá dados claros. Vou listar isso para a gente ficar alinhado:
  • Dados fornecidos:
    • Área das placas: A=1{,}00\\ \mathrm{m}^2.
    • Capacitância desejada: C=1{,}00\\ \mathrm{F}.
  • Perguntas:
    • (a) Qual deve ser a distância d entre as placas para que o capacitor de placas paralelas tenha C=1{,}00\\ \mathrm{F}?
    • (b) O dispositivo é fisicamente viável?
Observações úteis que vêm do enunciado (não estou resolvendo ainda, só anotando): as placas são metálicas e paralelas; não foi especificado o material entre as placas, então a hipótese natural é considerar vácuo ou ar entre as placas (vou calcular para vácuo — isso dá o caso mais simples e o limite físico mais favorável para a capacitância).

Passo 2

A fórmula que relaciona capacitância de um capacitor de placas paralelas com suas dimensões e a permissividade do meio entre as placas é a seguinte:
C=\varepsilon\frac{A}{d}.
Explicando cada símbolo dessa fórmula:
  • C é a capacitância (em farads, \mathrm{F}).
  • \varepsilon é a permissividade do meio entre as placas (em \mathrm{F/m}). Para vácuo, \varepsilon=\varepsilon_0, onde \varepsilon_0 é a permissividade elétrica do vácuo.
  • A é a área de cada placa (em \mathrm{m}^2).
  • d é a separação entre as placas (em \mathrm{m}).
A constante \varepsilon_0 tem valor (aproximado):
\varepsilon_0 \approx 8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.
Justificativa rápida: essa é a expressão padrão da capacitância ideal de placas paralelas quando os efeitos de borda (fringing) são desprezíveis e o meio é homogêneo. Vou usar esse modelo porque o enunciado fala explicitamente em “placas paralelas” e pede um valor de d.

Passo 3

Isolo d na fórmula para encontrar a separação necessária:
C=\varepsilon_0\frac{A}{d}\quad\Longrightarrow\quad d=\varepsilon_0\frac{A}{C}.
Aqui substituo C pelo valor pedido, A pela área dada e \varepsilon_0 pela constante do vácuo.

Passo 4

Agora faço a substituição numérica passo a passo:
d=\varepsilon_0\frac{A}{C}=\left(8{,}854187817\times10^{-12}\right)\frac{1{,}00}{1{,}00}\\ \mathrm{m}.
Portanto
d \approx 8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{m}.
Arredondando para três algarismos significativos:
d \approx 8{,}85\times10^{-12}\\ \mathrm{m}.
Conversões úteis para termos noção do tamanho:
  • em picômetros ( \mathrm{pm}), onde 1\\ \mathrm{pm}=10^{-12}\\ \mathrm{m}: d \approx 8{,}85\\ \mathrm{pm}.
  • em ångströms ( \text{\AA}), onde 1\\ \text{\AA}=10^{-10}\\ \mathrm{m}: d \approx 0{,}0885\\ \text{\AA}.

Passo 5

Agora vou discutir a viabilidade física (parte (b)). Vou explicar devagar, tipo papo entre amigos, porque essa parte é importante para você entender por que o número que acabamos de calcular é problemático.
  1. Escala atômica:
    • Distâncias atômicas típicas são da ordem de 1\\ \text{\AA}=10^{-10}\\ \mathrm{m}=100\\ \mathrm{pm}.
    • A separação que encontramos é d\approx8{,}85\\ \mathrm{pm}, ou seja, cerca de um décimo de um ångström. Isso é menor que o raio eletrônico e que o espaçamento entre núcleos/átomos em sólidos. Em outras palavras, as duas placas estariam “invadindo” a estrutura atômica uma da outra — não dá para manter duas superfícies metálicas separadas por uma distância menor que o próprio tamanho dos átomos.
  2. Rugosidade e precisão de fabricação:
    • Mesmo polindo muito bem, superfícies metálicas têm rugosidade e irregularidades na escala de dezenas a centenas de nanômetros (ou ao menos alguns angströms). Manter uma separação homogênea de alguns picômetros é totalmente impossível com técnicas mecânicas macroscópicas.
  3. Efeitos quânticos e tunelamento:
    • A essa escala, efeitos quânticos entram com força: elétrons podem fazer tunelamento entre as placas (curto elétrico quântico), e forças como a interação de van der Waals / força de Casimir atraem fortemente as placas, fazendo-as colapsar.
  4. Rigidez mecânica e colapso:
    • Forças eletrostáticas entre placas muito próximas e imperfeições mecânicas fariam com que as placas se deformassem e se tocassem, gerando curto.
  5. Uso de dielétricos não salva sozinhos:
    • Poderíamos pensar em colocar um material dielétrico com alta constante relativa \varepsilon_r para aumentar \varepsilon=\varepsilon_r\varepsilon_0 e, assim, permitir d maior. Para ter uma ideia numérica: se quiséssemos d=1{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{m} (um mícron, já muito fino mas tecnicamente mensurável), precisaríamos de \varepsilon_r=\frac{C d}{\varepsilon_0 A}=\frac{1{,}00\times10^{-6}}{8{,}85\times10^{-12}}\approx1{,}13\times10^{5},ou seja, \varepsilon_r\sim10^5. Materiais com constantes relativas tão grandes estão fora do alcance da maioria dos dielétricos sólidos (alguns materiais exóticos têm valores elevados, mas não tanto, e além disso a espessura de um dielétrico de 1 µm com \varepsilon_r tão alta não elimina os outros problemas — perdas, quebras e estabilidade). Se aceitarmos uma separação de 1\\ \mathrm{nm}=10^{-9}\\ \mathrm{m}, ainda assim precisaríamos de \varepsilon_r\approx113, um valor alto mas possível em alguns materiais — porém fabricar uma lâmina dielétrica homogênea de 1\\ \mathrm{nm} e colocá‑la entre duas placas metálicas uniformes é praticamente impossível e novamente entramos em regimes onde a descrição clássica falha.
  6. Solução prática real: supercapacitores e eletrodos porosos
    • Dispositivos que têm capacitâncias de ordem de 1\\ \mathrm{F} existem (supercapacitores), porém não são capacitores simples de placas paralelas macroscópicas. Eles usam eletrodos porosos com área superficial efetiva enorme (metros quadrados de área interna) e um “efeito de dupla camada” onde a separação efetiva de cargas é da ordem de nanômetros. Ou seja, a geometria e a física envolvida são bem diferentes.
Conclusão dessa discussão: construir um capacitor plano e macroscópico com A=1{,}00\\ \mathrm{m}^2 e C=1{,}00\\ \mathrm{F} exigiria uma separação entre placas muito menor que a escala atômica e, portanto, é fisicamente irrealizável pelas razões listadas (estrutura atômica, rugosidade, tunelamento, colapso mecânico, limites de dielétricos). Para obter 1 F na prática usa‑se outra estratégia (aumentar área efetiva drasticamente e aproveitar fenômenos de superfície).

Resposta

(a) d\approx8{,}85\times10^{-12}\\ \mathrm{m} (aproximadamente 8{,}85\\ \mathrm{pm}).
(b) Não; não é fisicamente viável: a separação exigida é menor que a escala atômica, levando a problemas com rugosidade, tunelamento quântico, forças de atração e impossibilidade prática de fabricação.

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