2^circ ) Estude a continuidade da função w=4 x y zraiz9-x^2-y^2-z^2.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a continuidade da função
w(x,y,z)=4,x,y,zraiz9 - x^2 - y^2 - z^2,
O conteúdo é análise de continuidade de funções de várias variáveis. Vamos precisar (1) determinar o domínio natural de w, (2) verificar que o numerador e o denominador são contínuos nesse domínio e (3) usar que quociente de funções contínuas é contínuo quando o denominador é não nulo.

Passo 2

Encontrar o domínio natural. A raiz quadrada exige
9 - x^2 - y^2 - z^2 ;>; 0
e ainda não podemos dividir por zero, mas como raiz,cdot, é sempre positivo quando o argumento é estritamente maior que zero, basta
x^2 + y^2 + z^2 < 9
Logo o domínio é
D = l(x,y,z)inR^3mid x^2+y^2+z^2<9r

Passo 3

Verificar continuidade no interior da bola.
  1. A função
(x,y,z);mapsto;4,x,y,z
é polinomial, logo contínua em R^3.
2. A função
(x,y,z);mapsto;9 - x^2 - y^2 - z^2
é também polinomial, contínua.
3. A composição
(x,y,z);mapsto;raiz,9 - x^2 - y^2 - z^2,
é contínua em todo ponto em que 9 - x^2 - y^2 - z^2>0.
4. Portanto o quociente
w(x,y,z)=4,x,y,zraiz9 - x^2 - y^2 - z^2
é contínuo em todo ponto de D, pois o denominador é não nulo em D.

Passo 4

Analisar a fronteira x^2+y^2+z^2=9. A função não está definida ali (o denominador vai a zero). Logo não faz sentido falar em continuidade nesses pontos, já que w não existe na fronteira.

Resposta

A função w é contínua em todos os pontos do conjunto
(x,y,z)inR^3mid x^2+y^2+z^2<9

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