) Estude a continuidade da função
.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a continuidade da função
O conteúdo é análise de continuidade de funções de várias variáveis. Vamos precisar (1) determinar o domínio natural de
, (2) verificar que o numerador e o denominador são contínuos nesse domínio e (3) usar que quociente de funções contínuas é contínuo quando o denominador é não nulo.
Passo 2
Encontrar o domínio natural. A raiz quadrada exige
e ainda não podemos dividir por zero, mas como
é sempre positivo quando o argumento é estritamente maior que zero, basta
Logo o domínio é
Passo 3
Verificar continuidade no interior da bola.
- A função
é polinomial, logo contínua em
.
2. A função
2. A função
é também polinomial, contínua.
3. A composição
3. A composição
é contínua em todo ponto em que
.
4. Portanto o quociente
4. Portanto o quociente
é contínuo em todo ponto de
, pois o denominador é não nulo em
.
Passo 4
Analisar a fronteira
. A função não está definida ali (o denominador vai a zero). Logo não faz sentido falar em continuidade nesses pontos, já que
não existe na fronteira.
Resposta
A função
é contínua em todos os pontos do conjunto