Verifique se as EDO’s abaixo são ou não separáveis; em caso afirmativo, forneça uma solução e classifique-a como explícita ou implícita:
y^prime+2 y=1

Passo 1

O enunciado apresenta a EDO de primeira ordem
y' + 2y = 1
e pede para verificarmos se ela é ou não separável. Se for separável, devemos encontrar sua solução e dizer se ela é explícita ou implícita. Para isso, vamos isolar y' e tentar escrever a equação na forma de separação de variáveis.

Passo 2

Isolando y', temos
y' = 1 - 2y
Escrevendo em termos de diferencial, fica
dydx = 1 - 2y Longrightarrow dy1 - 2y = dx
Portanto a EDO é separável, pois conseguimos expressar todos os termos envolvendo y de um lado e x do outro.

Passo 3

Agora integramos cada lado:
integral dy1 - 2y ;=;integral dx
Para calcular a integral à esquerda, usamos a substituição
u = 1 - 2y, du = -2,dy ;Longrightarrow; dy = -tfrac12,du
Logo
integral dy1 - 2y = integral -tfrac12duu = -tfrac12lnlvert urvert + C = -tfrac12lnlvert 1-2yrvert + C
Isso nos dá a relação
-tfrac12lnlvert 1-2yrvert = x + C

Passo 4

Multiplicando por -2 e exponenciando, obtemos
lnlvert 1-2yrvert = -2x + C1 Longrightarrow lvert 1-2yrvert = C2,e^-2x
Eliminando o valor absoluto (absorvendo o sinal em C2) e resolvendo para y, temos
1 - 2y = C,e^-2x Longrightarrow y(x) = 12 - C2,e^-2x
Renomeando tfracC2 por uma constante arbitrária A, escrevemos
y(x) = 12 - A,e^-2x,
que é uma forma explícita da solução geral.

Resposta

A EDO é separável e sua solução geral é
y(x) = 12 - A,e^-2x,
com A constante arbitrária. Trata-se de solução explícita.

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