Verifique se as EDO’s abaixo são ou não separáveis; em caso afirmativo, forneça uma solução e classifique-a como explícita ou implícita:
Passo 1
O enunciado apresenta a EDO de primeira ordem
e pede para verificarmos se ela é ou não separável. Se for separável, devemos encontrar sua solução e dizer se ela é explícita ou implícita. Para isso, vamos isolar
e tentar escrever a equação na forma de separação de variáveis.
Passo 2
Isolando
, temos
Escrevendo em termos de diferencial, fica
Portanto a EDO é separável, pois conseguimos expressar todos os termos envolvendo
de um lado e
do outro.
Passo 3
Agora integramos cada lado:
Para calcular a integral à esquerda, usamos a substituição
Logo
Isso nos dá a relação
Passo 4
Multiplicando por
e exponenciando, obtemos
Eliminando o valor absoluto (absorvendo o sinal em
) e resolvendo para
, temos
Renomeando
por uma constante arbitrária
, escrevemos
que é uma forma explícita da solução geral.
Resposta
A EDO é separável e sua solução geral é
com
constante arbitrária. Trata-se de solução explícita.