Verifique se as EDO’s abaixo são ou não separáveis; em caso afirmativo, forneça uma solução e classifique-a como explícita ou implícita:
sec (y) y^prime+sen(x-y)=sen(x+y)

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO sec(y),y' + sin(x-y) = sin(x+y). O conteúdo envolve identificação de equações separáveis e uso de identidades trigonométricas para simplificar antes de separar variáveis, integrar e obter a solução, classificando-a como explícita ou implícita.

Passo 2

Reescrevemos em termos de , isolando esse termo:

Passo 3

Aplicamos a identidade
com e , obtendo
Logo a EDO fica
e multiplicando ambos os lados por :

Passo 4

Agora a equação está separável. Isolamos os termos em de um lado e em do outro:

Passo 5

Integramos ambos os lados. No lado esquerdo usamos
e no direito
Assim

Passo 6

Multiplicamos por 2 e exponenciamos:
lnl|tan(y)r| = 2sin(x)+C1 ;Longrightarrow; tan(y) = C,e^2sin(x),
onde C=e^C1. Portanto
y(x) = arctan!l(C,e^2sin(x)r),
que é a solução geral em forma explícita.

Resposta

A EDO é separável e sua solução geral é
y(x)=arctanl(C,e^2sin(x)r),
ou seja, é uma solução explícita.

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