Uma empresa de tecnologia que produz dispositivos industriais de monitoramento remoto está avaliando dois fornecedores distintos de baterias de longa duração. Para verificar o desempenho médio, amostras independentes de baterias foram testadas continuamente até o esgotamento total da carga. O objetivo da empresa é identificar qual fornecedor pode oferecer maior tempo médio de funcionamento, garantindo autonomia dos equipamentos em campo.
Os resultados obtidos foram:
  • Fornecedor A: n_{1}=21, \bar{x}_{1}=61,4, s_{1}=5,2
  • Fornecedor B: n_{2}=23, \bar{x}_{2}=65,8, s_{2}=11,3

Passo 1

Vou extrair e organizar claramente os dados que o enunciado dá e o que se pede.
Dados (peguei todos do enunciado):
  • Para o fornecedor A: n_{1}=21, \bar{x}_{1}=61,4, s_{1}=5,2.
  • Para o fornecedor B: n_{2}=23, \bar{x}_{2}=65,8, s_{2}=11,3.
O objetivo explícito é: identificar qual fornecedor pode oferecer maior tempo médio de funcionamento (isto é, comparar as médias de vida das baterias de A e B). Portanto a pergunta prática é: existe evidência estatística de que um fornecedor tem tempo médio maior que o outro?

Passo 2

Escolha do método e hipóteses (e por que usar esse método).
Como temos duas amostras independentes, queremos comparar médias. As amostras são relativamente pequenas ( n na ordem de 20) e as variâncias amostrais são bastante diferentes ( s_{1}=5,2 versus s_{2}=11,3), então o procedimento clássico e mais apropriado é o teste t de duas amostras sem assumir variâncias iguais — conhecido como teste de Welch. Esse teste é recomendado porque não exige a suposição de variâncias populacionais iguais.
Vou testar, a nível de significância \alpha=0,05, se o fornecedor B tem média maior que o A. As hipóteses (formuladas usando \mu_A para o verdadeiro tempo médio do fornecedor A e \mu_B para o do fornecedor B) são:
H_0:\\ \mu_B=\mu_A
H_a:\\ \mu_B>\mu_A
(Isto é um teste unilateral à direita, porque queremos verificar se B é maior que A.)

Passo 3

Fórmula do teste de Welch e explicação das quantidades.
A estatística de teste do método de Welch é
t=\frac{\bar{x}_1-\bar{x}_2}{\sqrt{\dfrac{s_1^2}{n_1}+\dfrac{s_2^2}{n_2}}}.
Explicando cada termo:
  • \bar{x}_1 e \bar{x}_2 são as médias amostrais (aqui 61,4 e 65,8).
  • s_1^2 e s_2^2 são as variâncias amostrais (quadrado dos desvios padrão).
  • n_1 e n_2 são os tamanhos amostrais.
    O denominador é o erro padrão da diferença das médias; quanto maior esse erro padrão, menos certa é a diferença observada.
Além disso, os graus de liberdade efetivos são dados pela fórmula de Welch–Satterthwaite:
\nu=\frac{\left(\dfrac{s_1^2}{n_1}+\dfrac{s_2^2}{n_2}\right)^{2}}{\dfrac{s_1^{4}}{n_1^{2}(n_1-1)}+\dfrac{s_2^{4}}{n_2^{2}(n_2-1)}}.
Essa fórmula dá um valor não inteiro para os graus de liberdade que usamos para obter a distribuição t aproximada da estatística.

Passo 4

Calcular variâncias amostrais e os termos intermediários.
Calculemos s_1^2 e s_2^2:
s_1^2 = 5,2^{2} = 27,04, \qquad s_2^2 = 11,3^{2} = 127,69.
Agora os termos \dfrac{s_1^2}{n_1} e \dfrac{s_2^2}{n_2}:
\dfrac{s_1^2}{n_1}=\dfrac{27,04}{21}\approx 1,2876, \qquad \dfrac{s_2^2}{n_2}=\dfrac{127,69}{23}\approx 5,5522.
A soma é
\dfrac{s_1^2}{n_1}+\dfrac{s_2^2}{n_2}\approx 1,2876+5,5522=6,8398.
O erro padrão (denominador do t) é
\text{SE}=\sqrt{6,8398}\approx 2,617.

Passo 5

Calcular a estatística t.
A diferença das médias amostrais é
\bar{x}_1-\bar{x}_2=61,4-65,8=-4,4.
Portanto
t=\frac{-4,4}{2,617}\approx -1,68.
Interpretação numérica: um t negativo indica que \bar{x}_1<\bar{x}_2 (ou seja, a média amostral do A é menor que a do B). Como formulei as hipóteses em termos de \mu_B>\mu_A, eu poderia usar a estatística com sinal trocado; o importante é obter a cauda correta para o p-valor. Para evitar confusão, vou considerar o valor absoluto |t|\approx1,68 ao achar o p-valor e aplicar na cauda correta (unilateral).

Passo 6

Calcular os graus de liberdade aproximados ( \nu) pela fórmula de Welch–Satterthwaite.
Primeiro os numeradores auxiliares:
\left(\dfrac{s_1^2}{n_1}+\dfrac{s_2^2}{n_2}\right)^{2}\approx 6,8398^{2}\approx 46,79.
Agora os termos do denominador:
\dfrac{s_1^{4}}{n_1^{2}(n_1-1)}=\dfrac{27,04^{2}}{21^{2}\cdot20}=\dfrac{731,1616}{8820}\approx 0,0829,
\dfrac{s_2^{4}}{n_2^{2}(n_2-1)}=\dfrac{127,69^{2}}{23^{2}\cdot22}=\dfrac{16312,7361}{11638}\approx 1,4019.
Somando:
0,0829+1,4019\approx 1,4848.
Logo
\nu\approx \frac{46,79}{1,4848}\approx 31,5.
Arredondamos para uso em tabelas/softwares: \nu\approx 31 (ou usar 31,5 na interpolação). Vou usar \nu\approx 31 para obter valores críticos e p-valor aproximado.

Passo 7

Calcular o p-valor e concluir o teste (interpretação).
Temos t\approx -1,68 e \nu\approx 31. Para o teste unilateral H_a:\mu_B>\mu_A, a cauda relevante é a cauda direita para a estatística escrita como t=(\bar{x}_B-\bar{x}_A)/\text{SE}. Como eu computei t com \bar{x}_1-\bar{x}_2 (A menos B) obtive -1,68; o p-valor unilateral é P(T\le -1,68) com T\sim t_{31}, que é igual ao p-valor unilateral do teste P(T\ge 1,68) (simetria).
Usando distribuição t com \nu\approx31:
  • Valor-p unilateral aproximado: p_{\text{unilateral}}\approx 0,053.
  • Valor-p bilateral (se tivéssemos feito teste two-sided): p_{\text{bilateral}}\approx 0,106.
Comparando com \alpha=0,05:
  • Para o teste unilateral, p\approx0,053>0,05 — não rejeitamos H_0 ao nível de 5\%.
  • Para o teste bilateral, também não rejeitaríamos (pois 0,106>0,05).
Conclusão estatística: não há evidência estatística suficiente, ao nível de 5\%, para afirmar que o fornecedor B tem média de funcionamento maior que o fornecedor A.

Passo 8

Intervalo de confiança para a diferença de médias (ajuda a interpretar magnitude).
Vamos construir um intervalo de confiança de 95\% para \mu_B-\mu_A. A diferença amostral é \bar{x}_2-\bar{x}_1=65,8-61,4=4,4. O erro padrão para \bar{x}_2-\bar{x}_1 é igual ao calculado antes \text{SE}\approx 2,617. Para \nu\approx31, o quantil crítico t_{0,975} vale aproximadamente 2,040.
A margem de erro é 2,040\times 2,617\approx 5,341.
Então o intervalo de 95\% para \mu_B-\mu_A é
4,4 \pm 5,341,
ou seja
(4,4-5,341,\; 4,4+5,341)\approx (-0,941,\; 9,741).
Interpretação: o intervalo contém zero, o que está de acordo com o teste acima — não podemos afirmar com confiança de 95\% que \mu_B-\mu_A>0. Contudo o intervalo sugere que, se existir diferença, ela pode chegar a cerca de 9,7 horas a favor de B, mas também pode ser praticamente nula (até cerca de -0,94 hora).

Passo 9

Interpretação prática e recomendação.
  • Resultado prático: a média amostral do fornecedor B é maior ( 65,8 vs 61,4), diferença observada 4,4 horas a favor de B. Porém, essa diferença não é estatisticamente significativa ao nível de 5\% (p≈0,053 unilateral).
  • Recomendações: se for crucial garantir superioridade estatística, considerar aumentar o tamanho amostral para reduzir o erro padrão; também avaliar a relevância prática de 4,4 horas (mesmo que estatisticamente não seja significativa, pode ser relevante em campo dependendo do requisito de autonomia). Além disso, avaliar variabilidade e confiabilidade de produção (B tem maior variabilidade amostral, s_2=11,3).

Resposta

Não há evidência estatística significativa, ao nível de 5\%, de que o fornecedor B tenha tempo médio de funcionamento maior que o fornecedor A (teste de Welch: t\approx-1,68, \nu\approx31{,}5, p_{\text{unilateral}}\approx0,053).
Intervalo de confiança de 95\% para \mu_B-\mu_A: (-0,941,\;9,741) horas.

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