Uma empresa de tecnologia que produz dispositivos industriais de monitoramento remoto está avaliando dois fornecedores distintos de baterias de longa duração. Para verificar o desempenho médio, amostras independentes de baterias foram testadas continuamente até o esgotamento total da carga. O objetivo da empresa é identificar qual fornecedor pode oferecer maior tempo médio de funcionamento, garantindo autonomia dos equipamentos em campo.
Os resultados obtidos foram:
- Fornecedor A:
- Fornecedor B:
Passo 1
Vou extrair e organizar claramente os dados que o enunciado dá e o que se pede.
Dados (peguei todos do enunciado):
- Para o fornecedor A:
, , . - Para o fornecedor B:
, , .
O objetivo explícito é: identificar qual fornecedor pode oferecer maior tempo médio de funcionamento (isto é, comparar as médias de vida das baterias de A e B). Portanto a pergunta prática é: existe evidência estatística de que um fornecedor tem tempo médio maior que o outro?
Passo 2
Escolha do método e hipóteses (e por que usar esse método).
Como temos duas amostras independentes, queremos comparar médias. As amostras são relativamente pequenas (
na ordem de 20) e as variâncias amostrais são bastante diferentes (
versus
), então o procedimento clássico e mais apropriado é o teste t de duas amostras sem assumir variâncias iguais — conhecido como teste de Welch. Esse teste é recomendado porque não exige a suposição de variâncias populacionais iguais.
Vou testar, a nível de significância
, se o fornecedor B tem média maior que o A. As hipóteses (formuladas usando
para o verdadeiro tempo médio do fornecedor A e
para o do fornecedor B) são:
(Isto é um teste unilateral à direita, porque queremos verificar se B é maior que A.)
Passo 3
Fórmula do teste de Welch e explicação das quantidades.
A estatística de teste do método de Welch é
Explicando cada termo:
-
e são as médias amostrais (aqui e ). -
e são as variâncias amostrais (quadrado dos desvios padrão). -
e são os tamanhos amostrais.
O denominador é o erro padrão da diferença das médias; quanto maior esse erro padrão, menos certa é a diferença observada.
Além disso, os graus de liberdade efetivos são dados pela fórmula de Welch–Satterthwaite:
Essa fórmula dá um valor não inteiro para os graus de liberdade que usamos para obter a distribuição
aproximada da estatística.
Passo 4
Calcular variâncias amostrais e os termos intermediários.
Calculemos
e
:
Agora os termos
e
:
A soma é
O erro padrão (denominador do
) é
Passo 5
Calcular a estatística
.
A diferença das médias amostrais é
Portanto
Interpretação numérica: um
negativo indica que
(ou seja, a média amostral do A é menor que a do B). Como formulei as hipóteses em termos de
, eu poderia usar a estatística com sinal trocado; o importante é obter a cauda correta para o p-valor. Para evitar confusão, vou considerar o valor absoluto
ao achar o p-valor e aplicar na cauda correta (unilateral).
Passo 6
Calcular os graus de liberdade aproximados (
) pela fórmula de Welch–Satterthwaite.
Primeiro os numeradores auxiliares:
Agora os termos do denominador:
Somando:
Logo
Arredondamos para uso em tabelas/softwares:
(ou usar
na interpolação). Vou usar
para obter valores críticos e p-valor aproximado.
Passo 7
Calcular o p-valor e concluir o teste (interpretação).
Temos
e
. Para o teste unilateral
, a cauda relevante é a cauda direita para a estatística escrita como
. Como eu computei
com
(A menos B) obtive
; o p-valor unilateral é
com
, que é igual ao p-valor unilateral do teste
(simetria).
Usando distribuição
com
:
- Valor-p unilateral aproximado:
. - Valor-p bilateral (se tivéssemos feito teste two-sided):
.
Comparando com
:
- Para o teste unilateral,
— não rejeitamos ao nível de . - Para o teste bilateral, também não rejeitaríamos (pois
).
Conclusão estatística: não há evidência estatística suficiente, ao nível de
, para afirmar que o fornecedor B tem média de funcionamento maior que o fornecedor A.
Passo 8
Intervalo de confiança para a diferença de médias (ajuda a interpretar magnitude).
Vamos construir um intervalo de confiança de
para
. A diferença amostral é
. O erro padrão para
é igual ao calculado antes
. Para
, o quantil crítico
vale aproximadamente
.
A margem de erro é
.
Então o intervalo de
para
é
ou seja
Interpretação: o intervalo contém zero, o que está de acordo com o teste acima — não podemos afirmar com confiança de
que
. Contudo o intervalo sugere que, se existir diferença, ela pode chegar a cerca de
horas a favor de B, mas também pode ser praticamente nula (até cerca de
hora).
Passo 9
Interpretação prática e recomendação.
- Resultado prático: a média amostral do fornecedor B é maior (
vs ), diferença observada horas a favor de B. Porém, essa diferença não é estatisticamente significativa ao nível de (p≈0,053 unilateral). - Recomendações: se for crucial garantir superioridade estatística, considerar aumentar o tamanho amostral para reduzir o erro padrão; também avaliar a relevância prática de
horas (mesmo que estatisticamente não seja significativa, pode ser relevante em campo dependendo do requisito de autonomia). Além disso, avaliar variabilidade e confiabilidade de produção (B tem maior variabilidade amostral, ).
Resposta
Não há evidência estatística significativa, ao nível de
, de que o fornecedor B tenha tempo médio de funcionamento maior que o fornecedor A (teste de Welch:
,
,
).
Intervalo de confiança de para
:
horas.
Intervalo de confiança de