Uma empresa farmacêutica está conduzindo um estudo clínico visando comparar a eficácia de dois novos medicamentos destinados ao controle da pressão arterial sistólica em adultos hipertensos. Os pacientes foram distribuídos aleatoriamente em dois grupos independentes, cada um recebendo um dos medicamentos ao longo de quatro semanas. Ao término do período de teste, a pressão arterial sistólica foi medida em milímetros de mercúrio ( mmHg ).
Os resultados foram:
  • Medicamento A: n_{1}=18, \bar{x}_{1}=129,3, s_{1}=7,6
  • Medicamento B: n_{2}=20, \bar{x}_{2}=134,7, s_{2}=14,2

Passo 1

Lista clara do que o enunciado dá e do que vamos responder (peguei os números do enunciado):
  • Dados do Medicamento A: n_{1}=18, \bar{x}_{1}=129{,}3, s_{1}=7{,}6.
  • Dados do Medicamento B: n_{2}=20, \bar{x}_{2}=134{,}7, s_{2}=14{,}2.
    O enunciado não especificou exatamente o que pedir, então vou resolver a tarefa usual para esse tipo de exercício: comparar as médias dos dois grupos para verificar se há evidência de diferença entre as médias populacionais (ou seja, testar se \mu_1=\mu_2 contra \mu_1\neq\mu_2). Vou também construir um intervalo de confiança de 95\% para a diferença \mu_1-\mu_2. Vou assumir um nível de significância \alpha=0{,}05.

Passo 2

Escolha do método (e por quê)
  • Temos duas amostras independentes e queremos comparar médias. Quando as variâncias amostrais parecem diferentes (aqui s_{1}^{2}=(7{,}6)^{2}=57{,}76 e s_{2}^{2}=(14{,}2)^{2}=201{,}64; a segunda é bem maior), o procedimento padrão é usar o teste de duas médias com variâncias não assumidas iguais — conhecido como teste de Welch. Esse teste usa uma estatística t com erro padrão que combina as duas variâncias amostrais e um grau de liberdade aproximado (fórmula de Welch–Satterthwaite). Vou usar esse método porque é mais seguro quando as variâncias são distintas e não precisamos assumir homocedasticidade.

Passo 3

Hipóteses e estatística de teste
  • Hipóteses (teste bilateral):
H_0:\\ \mu_1=\mu_2
H_a:\\ \mu_1\neq\mu_2
  • A estatística de teste do teste de Welch é
t=\frac{\bar{x}_1-\bar{x}_2}{\sqrt{\dfrac{s_1^2}{n_1}+\dfrac{s_2^2}{n_2}}}.
Aqui:
  • \bar{x}_1 e \bar{x}_2 são as médias amostrais ( 129{,}3 e 134{,}7);
  • s_1^2 e s_2^2 são as variâncias amostrais ( 57{,}76 e 201{,}64);
  • n_1 e n_2 são os tamanhos amostrais ( 18 e 20).
    Vou calcular passo a passo o denominador (o erro padrão).

Passo 4

Cálculo do erro padrão da diferença das médias
  • Calcular as parcelas:
\frac{s_1^2}{n_1}=\frac{57{,}76}{18}=3{,}2089\quad(\text{aprox.})
\frac{s_2^2}{n_2}=\frac{201{,}64}{20}=10{,}0820
  • Somando:
\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}=3{,}2089+10{,}0820=13{,}2909
  • Erro padrão (desvio padrão da diferença):
\text{SE}=\sqrt{13{,}2909}=3{,}6462\quad(\text{aprox.})

Passo 5

Cálculo da estatística t
  • Diferença das médias amostrais:
\bar{x}_1-\bar{x}_2=129{,}3-134{,}7=-5{,}4
  • Estatística:
t=\frac{-5{,}4}{3{,}6462}=-1{,}482\quad(\text{aprox.})

Passo 6

Grau de liberdade aproximado (fórmula de Welch–Satterthwaite) — explicando a fórmula
  • Fórmula (cada termo explicado):
\nu \approx \frac{\left(\dfrac{s_1^2}{n_1}+\dfrac{s_2^2}{n_2}\right)^{2}}{\dfrac{\left(\dfrac{s_1^2}{n_1}\right)^{2}}{n_1-1}+\dfrac{\left(\dfrac{s_2^2}{n_2}\right)^{2}}{n_2-1}}.
  • O numerador é o quadrado do erro padrão combinado;
  • Cada parcela do denominador ajusta a contribuição da variância amostral segundo seu tamanho (quanto menor a amostra, maior a contribuição para reduzir o grau de liberdade).
  • Agora calcular numericamente:
    • Já temos \dfrac{s_1^2}{n_1}=3{,}2089 e \dfrac{s_2^2}{n_2}=10{,}0820.
    • Calcular as quadraturas:
\left(\dfrac{s_1^2}{n_1}\right)^{2}=3{,}2089^{2}=10{,}299\quad(\text{aprox.})
\left(\dfrac{s_2^2}{n_2}\right)^{2}=10{,}0820^{2}=101{,}647\quad(\text{aprox.})
  • Dividindo pelos graus de liberdade amostrais:
\frac{10{,}299}{n_1-1}=\frac{10{,}299}{17}=0{,}6058
\frac{101{,}647}{n_2-1}=\frac{101{,}647}{19}=5{,}3498
  • Soma do denominador:
0{,}6058+5{,}3498=5{,}9556
  • Numerador (o quadrado do erro padrão combinado):
\left(13{,}2909\right)^{2}=176{,}674\quad(\text{aprox.})
  • Logo
\nu\approx\frac{176{,}674}{5{,}9556}=29{,}7\quad(\text{aprox.})
Portanto o grau de liberdade aproximado é \nu\approx29{,}7. Na prática usa-se \nu\approx30 ou a própria fração \nu\approx29{,}7 ao calcular p-valor.

Passo 7

Cálculo do p-valor e decisão
  • Como o teste é bilateral, o p-valor é 2 vezes a cauda para t\le -1{,}482 com \nu\approx29{,}7.
  • Usando tabelas ou software/tabela t, para t=1{,}482 e \nu\approx30 o p-valor bilateral é aproximadamente 0{,}15 (entre 0{,}13 e 0{,}16 dependendo da interpolação).
  • Comparação com \alpha=0{,}05: p\approx0{,}15>\alpha. Logo não rejeitamos H_0. Em palavras: os dados não mostram diferença estatisticamente significativa entre as médias dos dois medicamentos ao nível de 5\%.

Passo 8

Construção do intervalo de confiança de 95\% para \mu_1-\mu_2 (usando Welch)
  • Fórmula do intervalo:
(\bar{x}_1-\bar{x}_2)\pm t_{\nu,\,0{,}975}\cdot\text{SE},
onde t_{\nu,\,0{,}975} é o quantil 97{,}5\% da t-de Student com \nu graus de liberdade.
  • Para \nu\approx29{,}7 tomamos t_{\nu,\,0{,}975}\approx2{,}045 (valor tabelado aproximado).
  • Margem de erro:
\text{ME}=2{,}045\times 3{,}6462=7{,}457\quad(\text{aprox.})
  • Intervalo:
-5{,}4\pm 7{,}457
\text{IC}_{95\%}=[-12{,}857,\;2{,}057]\quad(\text{aprox.})
Ou arredondando para duas casas decimais: [-12{,}86,\;2{,}06]. Observação importante: o intervalo contém zero, o que confirma a conclusão do teste (não evidência de diferença).

Passo 9

Interpretação final e dicas práticas para a prova (curtinha e amiga)
  • Conclusão prática: com os dados fornecidos não há evidência estatística suficiente, ao nível 5\%, de que os dois medicamentos produzam médias de pressão sistólica diferentes. O intervalo de confiança sugere que a média do Medicamento A pode ser até cerca de 12{,}9 mmHg menor ou até 2{,}1 mmHg maior que a do Medicamento B — muita incerteza.
  • Dica para prova: quando comparar duas médias independentes e as variâncias parecem diferentes, escolha o teste de Welch e calcule o erro padrão combinado e os graus de liberdade pela fórmula de Welch–Satterthwaite — isso evita erro por assumir variâncias iguais. Sempre verifique se o intervalo inclui zero para reforçar a decisão do teste.
  • Força aí! Se quiser, posso refazer com outro nível de significância ou fornecer os cálculos com mais casas decimais.

Resposta

t\approx -1{,}48,\\ \nu\approx 29{,}7,\\ p\text{-valor}\approx 0{,}15 (teste bilateral); não rejeita H_0 ao nível \alpha=0{,}05.
Intervalo de confiança de 95\% para \mu_1-\mu_2: [-12{,}86,\;2{,}06] mmHg.

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