) Em uma linha de montagem, 4% das peças produzidas são defeituosas. Um sistema automatizado de inspeção detecta corretamente um defeito em 95% dos casos e dá falso positivo em
das peças boas. Se uma peça foi sinalizada como defeituosa pelo sistema, calcule a probabilidade de ela realmente ser defeituosa.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz esta pergunta:
- Informação: a proporção de peças defeituosas na linha é
. - Informação: o sistema sinaliza corretamente um defeito em
dos casos (verdadeiro positivo). - Informação: o sistema dá falso positivo em
das peças boas. - Pergunta: se uma peça foi sinalizada como defeituosa pelo sistema, qual é a probabilidade de ela realmente ser defeituosa?
Passo 2
Vamos traduzir essas frases para eventos e probabilidades, para trabalhar com símbolos (isso ajuda muito numa prova).
- Defina o evento
= “peça é defeituosa”. - Defina o evento
= “peça é boa” (ou seja, é o complemento de ). - Defina o evento
= “sistema sinaliza a peça como defeituosa”.
Agora escrevemos as probabilidades dadas, todas em forma matemática:
- Probabilidade a priori de defeito:
(porque ). - Probabilidade de peça boa:
. - Sensibilidade (detecta defeito quando há defeito):
. - Taxa de falso positivo (sinaliza defeito quando a peça é boa):
.
O que pedem é a probabilidade posterior de defeito dado que foi sinalizada:
.
Passo 3
Vou explicar a fórmula que vamos usar — é a regra de Bayes — e por que ela aparece.
A regra de Bayes relaciona
com probabilidades condicionais que conhecemos:
Aqui:
-
é a probabilidade de o sistema sinalizar se a peça for defeituosa (já dada). -
é a probabilidade a priori de defeito. -
é a probabilidade total de que o sistema sinalize uma peça qualquer — precisamos calculá-la usando a lei da probabilidade total.
A lei da probabilidade total para
com a partição
é:
Ou seja: a chance de sinalizar vem dos dois caminhos possíveis — peça defeituosa sinalizada ou peça boa sinalizada.
Passo 4
Agora substituímos os números que temos nas fórmulas.
Primeiro calculamos
:
Substituindo:
Calcule cada termo com calma:
Somando:
Passo 5
Agora aplicamos Bayes:
Podemos simplificar essa fração. Observe que
e
, então
Esse é o valor exato. Em forma decimal:
Ou seja, cerca de
.
Passo 6
Interpretação intuitiva e dica para prova: mesmo com sensibilidade alta (
), como as peças defeituosas são raras (
) e há alguns falsos positivos (
), quando o sistema sinaliza nem sempre a peça é defeituosa — aqui a chance real ficou em torno de
. Na prova, calcule passo a passo: monte eventos, escreva Bayes, calcule
pela soma dos caminhos e depois a razão — assim você não se perde.