2^{\circ} ) Em uma linha de montagem, 4% das peças produzidas são defeituosas. Um sistema automatizado de inspeção detecta corretamente um defeito em 95% dos casos e dá falso positivo em 3 \% das peças boas. Se uma peça foi sinalizada como defeituosa pelo sistema, calcule a probabilidade de ela realmente ser defeituosa.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz esta pergunta:
  • Informação: a proporção de peças defeituosas na linha é \,4\%.
  • Informação: o sistema sinaliza corretamente um defeito em \,95\% dos casos (verdadeiro positivo).
  • Informação: o sistema dá falso positivo em \,3\% das peças boas.
  • Pergunta: se uma peça foi sinalizada como defeituosa pelo sistema, qual é a probabilidade de ela realmente ser defeituosa?

Passo 2

Vamos traduzir essas frases para eventos e probabilidades, para trabalhar com símbolos (isso ajuda muito numa prova).
  • Defina o evento \,D = “peça é defeituosa”.
  • Defina o evento \,G = “peça é boa” (ou seja, \,G é o complemento de \,D).
  • Defina o evento \,S = “sistema sinaliza a peça como defeituosa”.
Agora escrevemos as probabilidades dadas, todas em forma matemática:
  • Probabilidade a priori de defeito: \,P(D)=0,04 (porque \,4\%=0{,}04).
  • Probabilidade de peça boa: \,P(G)=1-P(D)=0,96.
  • Sensibilidade (detecta defeito quando há defeito): \,P(S\mid D)=0,95.
  • Taxa de falso positivo (sinaliza defeito quando a peça é boa): \,P(S\mid G)=0,03.
O que pedem é a probabilidade posterior de defeito dado que foi sinalizada: \,P(D\mid S).

Passo 3

Vou explicar a fórmula que vamos usar — é a regra de Bayes — e por que ela aparece.
A regra de Bayes relaciona \,P(D\mid S) com probabilidades condicionais que conhecemos:
P(D\mid S)=\frac{P(S\mid D)\,P(D)}{P(S)}.
Aqui:
  • \,P(S\mid D) é a probabilidade de o sistema sinalizar se a peça for defeituosa (já dada).
  • \,P(D) é a probabilidade a priori de defeito.
  • \,P(S) é a probabilidade total de que o sistema sinalize uma peça qualquer — precisamos calculá-la usando a lei da probabilidade total.
A lei da probabilidade total para \,P(S) com a partição \{D,G\} é:
P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid G)P(G).
Ou seja: a chance de sinalizar vem dos dois caminhos possíveis — peça defeituosa sinalizada ou peça boa sinalizada.

Passo 4

Agora substituímos os números que temos nas fórmulas.
Primeiro calculamos \,P(S):
P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid G)P(G).
Substituindo:
P(S)=0{,}95\cdot 0{,}04 + 0{,}03\cdot 0{,}96.
Calcule cada termo com calma:
0{,}95\cdot 0{,}04 = 0{,}038,
0{,}03\cdot 0{,}96 = 0{,}0288.
Somando:
P(S)=0{,}038+0{,}0288=0{,}0668.

Passo 5

Agora aplicamos Bayes:
P(D\mid S)=\frac{P(S\mid D)P(D)}{P(S)}=\frac{0{,}038}{0{,}0668}.
Podemos simplificar essa fração. Observe que \,0{,}038=\dfrac{19}{500} e \,0{,}0668=\dfrac{167}{2500}, então
P(D\mid S)=\frac{\dfrac{19}{500}}{\dfrac{167}{2500}}=\frac{19}{500}\cdot\frac{2500}{167}=\frac{95}{167}.
Esse é o valor exato. Em forma decimal:
P(D\mid S)\approx 0{,}568862\ldots
Ou seja, cerca de \,56{,}886\%.

Passo 6

Interpretação intuitiva e dica para prova: mesmo com sensibilidade alta ( 95\%), como as peças defeituosas são raras ( 4\%) e há alguns falsos positivos ( 3\%), quando o sistema sinaliza nem sempre a peça é defeituosa — aqui a chance real ficou em torno de \,57\%. Na prova, calcule passo a passo: monte eventos, escreva Bayes, calcule P(S) pela soma dos caminhos e depois a razão — assim você não se perde.

Resposta

\dfrac{95}{167}\approx 0{,}5689 (aprox. 56{,}89\%)

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