1^{\circ} ) Um sensor industrial pode apresentar três tipos de falha: mecânica (M), elétrica (E) ou térmica (T). Em um lote, verificou-se que:
  • 25 \% dos sensores apresentam falha mecânica;
  • 18 \% apresentam falha elétrica;
  • 10% apresentam falha térmica;
  • 6 \% apresentam simultaneamente falha mecânica e elétrica;
  • 3 \% apresentam simultaneamente falha elétrica e térmica;
  • 2 \% apresentam simultaneamente falha mecânica e térmica;
  • 1 \% apresentam os três tipos de falha.
Calcule:
a) A probabilidade de um sensor apresentar pelo menos uma falha.
b) A probabilidade de apresentar exatamente uma falha.

Passo 1

Vou reescrever claramente o que o enunciado pede e listar todas as informações dadas. Definimos os eventos:
\;M = “sensor com falha mecânica”,
\;E = “sensor com falha elétrica”,
\;T = “sensor com falha térmica”.
Dados (retirados do enunciado):
P(M)=\(25\%\),\quad P(E)=\(18\%\),\quad P(T)=\(10\%\),
P(M\cap E)=\(6\%\),\quad P(E\cap T)=\(3\%\),\quad P(M\cap T)=\(2\%\),
P(M\cap E\cap T)=\(1\%\).
Perguntas:
a) Calcular P(\text{pelo menos uma falha})=P(M\cup E\cup T).
b) Calcular P(\text{exatamente uma falha}), isto é P(\text{somente }M)+P(\text{somente }E)+P(\text{somente }T).

Passo 2

Para a parte (a) usamos a fórmula de inclusão-exclusão para três eventos. Vou explicar essa fórmula de forma simples: quando somamos P(M)+P(E)+P(T) estamos contando duas vezes (ou mais) as regiões onde ocorrem interseções. Então subtraímos as interseções de dois em dois, mas aí subtraímos demais a região onde os três ocorrem, então precisamos somá-la de volta. A fórmula é:
P(M\cup E\cup T)=P(M)+P(E)+P(T)-P(M\cap E)-P(E\cap T)-P(M\cap T)+P(M\cap E\cap T).
Aqui cada P(\cdot) é a probabilidade do evento entre parênteses; por exemplo P(M\cap E) é a probabilidade de ocorrerem simultaneamente falhas mecânica e elétrica.

Passo 3

Agora aplico a fórmula com os números dados. Primeiro somo as probabilidades individuais:
P(M)+P(E)+P(T)=\(25\%\)+\(18\%\)+\(10\%\)=\(53\%\).
Em seguida somo as interseções de pares:
P(M\cap E)+P(E\cap T)+P(M\cap T)=\(6\%\)+\(3\%\)+\(2\%\)=\(11\%\).
E a interseção tripla é P(M\cap E\cap T)=\(1\%).

Passo 4

Substituo tudo na fórmula e calculo passo a passo:
P(M\cup E\cup T)=\(53\%\)-\(11\%\)+\(1\%\).
P(M\cup E\cup T)=\(42\%\)+\(1\%\)=\(43\%\). Logo a probabilidade de pelo menos uma falha é \(43\%\).

Passo 5

Para a parte (b) quero P(\text{exatamente uma falha}). É mais didático calcular as probabilidades de "somente M", "somente E" e "somente T" e somá-las. Vou mostrar a fórmula para "somente M" e explicar por que ela funciona:
P(\text{somente }M)=P(M)-P(M\cap(E\cup T)).
Expandindo P(M\cap(E\cup T)) por inclusão-exclusão temos
P(M\cap(E\cup T))=P(M\cap E)+P(M\cap T)-P(M\cap E\cap T).
Assim
P(\text{somente }M)=P(M)-P(M\cap E)-P(M\cap T)+P(M\cap E\cap T).
Isto faz sentido intuitivo: começamos com todos os que têm M, subtraímos os que também têm E ou T (as interseções), e então adicionamos os que tinham os três, porque esses foram subtraídos duas vezes.

Passo 6

Agora calculo cada “somente” numericamente usando os dados:
Para "somente M":
P(\text{somente }M)=\(25\%\)-\(6\%\)-\(2\%\)+\(1\%\)=\(18\%\).
Para "somente E":
P(\text{somente }E)=P(E)-P(E\cap M)-P(E\cap T)+P(M\cap E\cap T)
=\(18\%\)-\(6\%\)-\(3\%\)+\(1\%\)=\(10\%\).
Para "somente T":
P(\text{somente }T)=P(T)-P(T\cap M)-P(T\cap E)+P(M\cap E\cap T)
=\(10\%\)-\(2\%\)-\(3\%\)+\(1\%\)=\(6\%\).

Passo 7

Somando as três probabilidades “somente” obtemos a probabilidade de exatamente uma falha:
P(\text{exatamente uma})=\(18\%\)+\(10\%\)+\(6\%\)=\(34\%\). Como checagem rápida, existe também uma fórmula alternativa direta: \[ P(\text{exatamente uma})=P(M)+P(E)+P(T)-2\big(P(M\cap E)+P(E\cap T)+P(M\cap T)\big)+3P(M\cap E\cap T),
que ao substituir os números dá o mesmo resultado 34\%.]

Resposta

a) 43\%
b) 34\%

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