) Um sensor industrial pode apresentar três tipos de falha: mecânica (M), elétrica (E) ou térmica (T). Em um lote, verificou-se que:
-
dos sensores apresentam falha mecânica;
-
apresentam falha elétrica;
- 10% apresentam falha térmica;
-
apresentam simultaneamente falha mecânica e elétrica;
-
apresentam simultaneamente falha elétrica e térmica;
-
apresentam simultaneamente falha mecânica e térmica;
-
apresentam os três tipos de falha.
Calcule:
a) A probabilidade de um sensor apresentar pelo menos uma falha.
b) A probabilidade de apresentar exatamente uma falha.
a) A probabilidade de um sensor apresentar pelo menos uma falha.
b) A probabilidade de apresentar exatamente uma falha.
Passo 1
Vou reescrever claramente o que o enunciado pede e listar todas as informações dadas. Definimos os eventos:
= “sensor com falha mecânica”,
= “sensor com falha elétrica”,
= “sensor com falha térmica”.
Dados (retirados do enunciado):
Perguntas:
a) Calcular .
b) Calcular , isto é
.
a) Calcular
b) Calcular
Passo 2
Para a parte (a) usamos a fórmula de inclusão-exclusão para três eventos. Vou explicar essa fórmula de forma simples: quando somamos
estamos contando duas vezes (ou mais) as regiões onde ocorrem interseções. Então subtraímos as interseções de dois em dois, mas aí subtraímos demais a região onde os três ocorrem, então precisamos somá-la de volta. A fórmula é:
Aqui cada
é a probabilidade do evento entre parênteses; por exemplo
é a probabilidade de ocorrerem simultaneamente falhas mecânica e elétrica.
Passo 3
Agora aplico a fórmula com os números dados. Primeiro somo as probabilidades individuais:
Em seguida somo as interseções de pares:
E a interseção tripla é
).
Passo 4
Substituo tudo na fórmula e calculo passo a passo:
Passo 5
Para a parte (b) quero
. É mais didático calcular as probabilidades de "somente
", "somente
" e "somente
" e somá-las. Vou mostrar a fórmula para "somente
" e explicar por que ela funciona:
Expandindo
por inclusão-exclusão temos
Assim
Isto faz sentido intuitivo: começamos com todos os que têm
, subtraímos os que também têm
ou
(as interseções), e então adicionamos os que tinham os três, porque esses foram subtraídos duas vezes.
Passo 6
Agora calculo cada “somente” numericamente usando os dados:
Para "somente
":
Para "somente
":
Para "somente
":
Passo 7
Somando as três probabilidades “somente” obtemos a probabilidade de exatamente uma falha:
que ao substituir os números dá o mesmo resultado
.]
Resposta
a)
b)
b)