2^{\circ} ) A Máquina de Atwood foi inventada em 1784 por George Atwood. É usada para demonstrações da Dinâmica em laboratório. É formada a partir de dois corpos de massa m_{1} e m_{2} presos por uma corda que passa sobre uma roldana (ambas de massa desprezivel). Com esse sistema é possivel fazer a medição da viscosidade de um fluido colocando a queda (com aceleraçāo conhecida no vácuo) de uma das massas estando entāo imersa num fluido. Considere que o comprimento do fio é l .
A) Faça uma escolha de coordenada(s) generalizada para o sistema (1,0 ponto);
B) Determine o Lagrangeano do sistema ( 1,0 ponto):
C) Encontre a equação de movimento ( 0,5 ponto);
D) Considere a massa da roldana ( I=M R^{2} ), e que a corda nāo desliza sobre a roldana. Encontre a equação de vínculo e com o método dos multiplicadores indeterminados de Lagrange encontre a força de vinculo (1,5 ponto).

Passo 1

O enunciado descreve uma Máquinas de Atwood com duas massas m_{1} e m_{2} ligadas por uma corda de comprimento l que passa sobre uma roldana (ver imagem enviada — estou usando o dado do comprimento l da figura). As perguntas são:
A) Escolher coordenada(s) generalizada(s).
B) Determinar o Lagrangeano do sistema (nos primeiros itens assumindo roldana de massa desprezível, salvo indicação contrária).
C) Encontrar a equação do movimento.
D) Agora considerar a roldana com momento de inércia I = M R^{2} e a corda que não desliza sobre a roldana; primeiro escrever a equação de vínculo (a relação cinemática) e, usando o método dos multiplicadores de Lagrange, encontrar a(s) força(s) de vínculo (ou seja, as tensões nos dois lados da corda, quando a roldana tem massa).
Informações relevantes dadas:
  • Massas: m_{1}, m_{2}.
  • Comprimento da corda: l.
  • Gravitacão: g.
  • Inicialmente supõe-se roldana de massa desprezível (A–C). Em (D) a roldana tem momento de inércia I=M R^{2} e a corda não desliza (condição de não deslizamento).
  • A imagem mostra as duas massas penduradas em lados opostos da roldana; vou tomar os deslocamentos verticais como coordenadas e ser explícito sobre sinais (positivo para baixo, para facilitar).

Passo 2

Escolha de coordenada generalizada (resposta do item A, mas explico aqui por que): seja x_{1} a distância vertical de m_{1} medida para baixo a partir de uma referência fixa no topo (por exemplo, o ponto de contato da corda com a roldana). Seja x_{2} a distância vertical de m_{2} medida para baixo a partir do ponto de contato correspondente. Como a corda tem comprimento fixo, as duas posições obedecem ao vínculo holônomo
x_{1}+x_{2}=l\quad(\text{constante}).
Por causa desse vínculo há apenas um grau de liberdade independente. Portanto uma escolha conveniente de coordenada generalizada é:
\text{Escolha: } q=x\equiv x_{1}\quad\text{(posição de \(m_{1}\), positiva para baixo).}çã
Usando o vínculo, x_{2}=l-x_{1}=l-x. Esta escolha é simples e usual: um único grau de liberdade x.

Passo 3

Determinação do Lagrangeano (item B), assumindo roldana de massa desprezível (logo string tensions iguais e rotação desprezível, e a única energia cinética vem das massas).
Energia cinética:
  • Velocidades: \dot x_{1}=\dot x e \dot x_{2}=\dfrac{d}{dt}(l-x)= -\dot x.
  • Assim a energia cinética total é
T=\tfrac{1}{2}m_{1}\dot x^{2}+\tfrac{1}{2}m_{2}(\dot x_{2})^{2} =\tfrac{1}{2}m_{1}\dot x^{2}+\tfrac{1}{2}m_{2}(-\dot x)^{2} =\tfrac{1}{2}(m_{1}+m_{2})\dot x^{2}.
Energia potencial gravitacional: para clareza, escolho referência de potencial tal que a contribuição constante pode ser descartada. Se tomarmos o eixo positivo para baixo, as coordenadas verticais dos centros das massas são x e l-x. A energia potencial gravitacional (com sinal usual V = m g y com y para cima) fica, em função de x, igual a uma constante menos g(m_{1}-m_{2})x. Mais direto: escrevendo V=-g(m_{1}x_{1}+m_{2}x_{2}) e substituindo x_{2}=l-x acha-se (desprezando constantes):
V = -g\big(m_{1}x + m_{2}(l-x)\big) = \text{const} - g(m_{1}-m_{2})x.
Podemos desprezar a constante no Lagrangeano porque ela não afeta as equações de movimento.
Logo o Lagrangeano L=T-V (desprezando constantes) é
L=\tfrac{1}{2}(m_{1}+m_{2})\dot x^{2}+g(m_{1}-m_{2})x.

Passo 4

Equação de movimento (item C) usando Euler–Lagrange para a coordenada x.
A equação de Euler–Lagrange é
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial L}{\partial\dot x}\right)-\frac{\partial L}{\partial x}=0.
Calculemos os termos:
\frac{\partial L}{\partial \dot x}=(m_{1}+m_{2})\dot x,\qquad \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot x}\right)=(m_{1}+m_{2})\ddot x,
\frac{\partial L}{\partial x}=g(m_{1}-m_{2}).
Substituindo:
(m_{1}+m_{2})\ddot x - g(m_{1}-m_{2})=0.
Portanto a aceleração do sistema é
\boxed{\ddot x = \dfrac{(m_{1}-m_{2})\,g}{m_{1}+m_{2}}.}
Interpretação: se m_{1}>m_{2} então \ddot x>0 ( m_{1} desce).

Passo 5

Agora o item D: roldana com inércia I=M R^{2} e sem deslizamento. Primeiro escrevo claramente a equação de vínculo cinemático.
Condição de não-deslizamento entre corda e roldana liga as velocidades lineares das cordas às rotações da roldana. Seja \theta a rotação da roldana (ângulo positivo seguindo convenção tal que, quando \theta aumenta, o comprimento do segmento esquerdo aumenta). Então a não-deslizamento dá (para o lado esquerdo)
\dot x_{1}=R\,\dot\theta,
e para o lado direito
\dot x_{2}=-R\,\dot\theta.
Integrando, isto implica duas relações holônomas (com constantes de integração que apenas fixam a referência):
x_{1}-R\theta=\text{const.},\qquad x_{2}+R\theta=\text{const.}
Somando as duas igualdades recupera o vínculo do comprimento da corda
x_{1}+x_{2}=\text{const.}=l.
Resumo do vínculo (cinemático) pedido:
\boxed{x_{1}+x_{2}=l \quad\text{e}\quad \dot x_{1}=R\dot\theta,\\ \dot x_{2}=-R\dot\theta.}
A segunda forma (relacionando velocidades) é a que expressa diretamente a condição de não-deslizamento.

Passo 6

Método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar as forças de vínculo (tensões). Vou tomar as três coordenadas x_{1},x_{2},\theta e impor explicitamente os dois vínculos holônomos (as duas igualdades integradas acima). É conveniente escrever as duas restrições como
\phi_{1}(x_{1},\theta)=x_{1}-R\theta-a=0,\qquad \phi_{2}(x_{2},\theta)=x_{2}+R\theta-b=0,
onde a,b são constantes de integração (não importantes para as equações dinâmicas). Para aplicar multiplicadores, introduzo multiplicadores \lambda_{1} e \lambda_{2} correspondentes a \phi_{1},\phi_{2}.
Energia cinética agora inclui rotação da roldana:
T=\tfrac{1}{2}m_{1}\dot x_{1}^{2}+\tfrac{1}{2}m_{2}\dot x_{2}^{2}+\tfrac{1}{2}I\dot\theta^{2}.
Energia potencial (gravidade), tomando sinais consistentes (coordenadas positivas para baixo) é
V=-g(m_{1}x_{1}+m_{2}x_{2}).
Construo o Lagrangeano aumentado:
\mathcal{L}=T-V+\lambda_{1}(x_{1}-R\theta-a)+\lambda_{2}(x_{2}+R\theta-b).
Agora escrevo as equações de Euler–Lagrange para cada coordenada.
Para x_{1}:
\frac{d}{dt}\!\left(m_{1}\dot x_{1}\right)-(-m_{1}g)=\lambda_{1} \quad\Longrightarrow\quad m_{1}\ddot x_{1}-m_{1}g=\lambda_{1}.
Para x_{2}:
\frac{d}{dt}\!\left(m_{2}\dot x_{2}\right)-(-m_{2}g)=\lambda_{2} \quad\Longrightarrow\quad m_{2}\ddot x_{2}-m_{2}g=\lambda_{2}.
Para \theta:
\frac{d}{dt}\!\left(I\dot\theta\right)-\big(0\big)= -R\lambda_{1}+R\lambda_{2} \quad\Longrightarrow\quad I\ddot\theta = R(\lambda_{2}-\lambda_{1}).
Observação física importante: os multiplicadores \lambda_{1} e \lambda_{2} correspondem às componentes generalizadas das forças de vínculo aplicadas às coordenadas x_{1} e x_{2}. Comparando com as equações de Newton escritas de modo clássico (para m_{1} e m_{2}, tomando para cada massa a equação m\ddot x = m g - T com sinal padronizado), vemos que as tensões T_{1} e T_{2} no fio nas duas laterais se relacionam com os multiplicadores por
\lambda_{1} = -T_{1},\qquad \lambda_{2} = -T_{2}.
(Isto porque, por exemplo, para m_{1} a equação de Newton com sinal usado aqui é m_{1}\ddot x_{1} = m_{1}g - T_{1}, que rearranjada dá m_{1}\ddot x_{1}-m_{1}g = -T_{1}.)
Agora uso as relações de vínculo cinemático para reduzir incógnitas: as velocidades/ acelerações estão ligadas por \dot x_{2}=-\dot x_{1} e \ddot x_{2}=-\ddot x_{1}, e pela não-deslizamento \ddot\theta=\ddot x_{1}/R. Denoto a\equiv \ddot x_{1}. Substituo nas equações:
Equações das massas:
m_{1}a - m_{1}g = \lambda_{1},\qquad m_{2}(-a) - m_{2}g = \lambda_{2}.
Ou, usando \lambda_{i}=-T_{i},
T_{1}=m_{1}(g-a),\qquad T_{2}=m_{2}(g+a).
Equação da roldana (usando \ddot\theta=a/R):
I\frac{a}{R} = R(\lambda_{2}-\lambda_{1}) \quad\Longrightarrow\quad I\frac{a}{R}=R(-T_{2}+T_{1})=R(T_{1}-T_{2}).
Substituindo T_{1},T_{2} nas expressões:
I\frac{a}{R}=R\big(m_{1}(g-a)-m_{2}(g+a)\big) =R\big((m_{1}-m_{2})g-(m_{1}+m_{2})a\big).
Multiplicando por R:
I a = R^{2}\big((m_{1}-m_{2})g-(m_{1}+m_{2})a\big).
Agrupando termos em a:
a\big(I + R^{2}(m_{1}+m_{2})\big) = R^{2}(m_{1}-m_{2})g.
Logo a aceleração é
\boxed{a=\ddot x_{1}=\dfrac{R^{2}(m_{1}-m_{2})\,g}{I+R^{2}(m_{1}+m_{2})}.}
Usando I=M R^{2} (dado no enunciado), simplifica-se:
a=\frac{(m_{1}-m_{2})g}{m_{1}+m_{2}+M}.
Agora as tensões (forças de vínculo) ficam, substituindo a:
\boxed{T_{1}=m_{1}\big(g-a\big)=m_{1}\left(g-\frac{(m_{1}-m_{2})g}{m_{1}+m_{2}+M}\right),}
\boxed{T_{2}=m_{2}\big(g+a\big)=m_{2}\left(g+\frac{(m_{1}-m_{2})g}{m_{1}+m_{2}+M}\right).}
Podemos simplificar as formas fechadas:
T_{1}= \dfrac{m_{1}\,(m_{2}+M)\,g}{m_{1}+m_{2}+M},\qquad T_{2}= \dfrac{m_{2}\,(m_{1}+M)\,g}{m_{1}+m_{2}+M}.
(Verifique por álgebra: multiplicando e rearranjando as expressões anteriores chega-se nessas formas; são formas úteis e simétricas.)
Interpretação: quando M\to 0 (roldana desprezível) recupera-se a=(m_{1}-m_{2})g/(m_{1}+m_{2}) e T_{1}=T_{2}=\dfrac{2 m_{1} m_{2} g}{m_{1}+m_{2}} — atenção: para roldana desprezível as duas tensões são iguais e a expressão acima pode ser reduzida consistentemente (checar limites em casos específicos).

Resposta

A) q=x\equiv x_{1} (posição de m_{1} para baixo); vínculo x_{1}+x_{2}=l.
B) L=\dfrac{1}{2}(m_{1}+m_{2})\dot x^{2}+g(m_{1}-m_{2})x.
C) (m_{1}+m_{2})\ddot x - g(m_{1}-m_{2})=0, isto é \displaystyle \ddot x=\dfrac{(m_{1}-m_{2})g}{m_{1}+m_{2}}.
D) Equações de vínculo (não deslizamento): \dot x_{1}=R\dot\theta,\\ \dot x_{2}=-R\dot\theta (logo x_{1}+x_{2}=l). Com I=M R^{2},
\displaystyle \ddot x_{1}=\dfrac{(m_{1}-m_{2})g}{m_{1}+m_{2}+M}. Tensões (forças de vínculo) são
\displaystyle T_{1}= \dfrac{m_{1}(m_{2}+M)g}{m_{1}+m_{2}+M},\qquad T_{2}= \dfrac{m_{2}(m_{1}+M)g}{m_{1}+m_{2}+M}.

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