) A Máquina de Atwood foi inventada em 1784 por George Atwood. É usada para demonstrações da Dinâmica em laboratório. É formada a partir de dois corpos de massa
e
presos por uma corda que passa sobre uma roldana (ambas de massa desprezivel). Com esse sistema é possivel fazer a medição da viscosidade de um fluido colocando a queda (com aceleraçāo conhecida no vácuo) de uma das massas estando entāo imersa num fluido. Considere que o comprimento do fio é l .
A) Faça uma escolha de coordenada(s) generalizada para o sistema (1,0 ponto);
B) Determine o Lagrangeano do sistema ( 1,0 ponto):
C) Encontre a equação de movimento ( 0,5 ponto);
D) Considere a massa da roldana (
), e que a corda nāo desliza sobre a roldana. Encontre a equação de vínculo e com o método dos multiplicadores indeterminados de Lagrange encontre a força de vinculo (1,5 ponto).
A) Faça uma escolha de coordenada(s) generalizada para o sistema (1,0 ponto);
B) Determine o Lagrangeano do sistema ( 1,0 ponto):
C) Encontre a equação de movimento ( 0,5 ponto);
D) Considere a massa da roldana (
Passo 1
O enunciado descreve uma Máquinas de Atwood com duas massas
e
ligadas por uma corda de comprimento
que passa sobre uma roldana (ver imagem enviada — estou usando o dado do comprimento
da figura). As perguntas são:
A) Escolher coordenada(s) generalizada(s).
B) Determinar o Lagrangeano do sistema (nos primeiros itens assumindo roldana de massa desprezível, salvo indicação contrária).
C) Encontrar a equação do movimento.
D) Agora considerar a roldana com momento de inércia e a corda que não desliza sobre a roldana; primeiro escrever a equação de vínculo (a relação cinemática) e, usando o método dos multiplicadores de Lagrange, encontrar a(s) força(s) de vínculo (ou seja, as tensões nos dois lados da corda, quando a roldana tem massa).
B) Determinar o Lagrangeano do sistema (nos primeiros itens assumindo roldana de massa desprezível, salvo indicação contrária).
C) Encontrar a equação do movimento.
D) Agora considerar a roldana com momento de inércia
Informações relevantes dadas:
- Massas:
. - Comprimento da corda:
. - Gravitacão:
. - Inicialmente supõe-se roldana de massa desprezível (A–C). Em (D) a roldana tem momento de inércia
e a corda não desliza (condição de não deslizamento). - A imagem mostra as duas massas penduradas em lados opostos da roldana; vou tomar os deslocamentos verticais como coordenadas e ser explícito sobre sinais (positivo para baixo, para facilitar).
Passo 2
Escolha de coordenada generalizada (resposta do item A, mas explico aqui por que): seja
a distância vertical de
medida para baixo a partir de uma referência fixa no topo (por exemplo, o ponto de contato da corda com a roldana). Seja
a distância vertical de
medida para baixo a partir do ponto de contato correspondente. Como a corda tem comprimento fixo, as duas posições obedecem ao vínculo holônomo
Por causa desse vínculo há apenas um grau de liberdade independente. Portanto uma escolha conveniente de coordenada generalizada é:
Usando o vínculo,
. Esta escolha é simples e usual: um único grau de liberdade
.
Passo 3
Determinação do Lagrangeano (item B), assumindo roldana de massa desprezível (logo string tensions iguais e rotação desprezível, e a única energia cinética vem das massas).
Energia cinética:
- Velocidades:
e . - Assim a energia cinética total é
Energia potencial gravitacional: para clareza, escolho referência de potencial tal que a contribuição constante pode ser descartada. Se tomarmos o eixo positivo para baixo, as coordenadas verticais dos centros das massas são
e
. A energia potencial gravitacional (com sinal usual
com
para cima) fica, em função de
, igual a uma constante menos
. Mais direto: escrevendo
e substituindo
acha-se (desprezando constantes):
Podemos desprezar a constante no Lagrangeano porque ela não afeta as equações de movimento.
Logo o Lagrangeano
(desprezando constantes) é
Passo 4
Equação de movimento (item C) usando Euler–Lagrange para a coordenada
.
A equação de Euler–Lagrange é
Calculemos os termos:
Substituindo:
Portanto a aceleração do sistema é
Interpretação: se
então
(
desce).
Passo 5
Agora o item D: roldana com inércia
e sem deslizamento. Primeiro escrevo claramente a equação de vínculo cinemático.
Condição de não-deslizamento entre corda e roldana liga as velocidades lineares das cordas às rotações da roldana. Seja
a rotação da roldana (ângulo positivo seguindo convenção tal que, quando
aumenta, o comprimento do segmento esquerdo aumenta). Então a não-deslizamento dá (para o lado esquerdo)
e para o lado direito
Integrando, isto implica duas relações holônomas (com constantes de integração que apenas fixam a referência):
Somando as duas igualdades recupera o vínculo do comprimento da corda
Resumo do vínculo (cinemático) pedido:
A segunda forma (relacionando velocidades) é a que expressa diretamente a condição de não-deslizamento.
Passo 6
Método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar as forças de vínculo (tensões). Vou tomar as três coordenadas
e impor explicitamente os dois vínculos holônomos (as duas igualdades integradas acima). É conveniente escrever as duas restrições como
onde
são constantes de integração (não importantes para as equações dinâmicas). Para aplicar multiplicadores, introduzo multiplicadores
e
correspondentes a
.
Energia cinética agora inclui rotação da roldana:
Energia potencial (gravidade), tomando sinais consistentes (coordenadas positivas para baixo) é
Construo o Lagrangeano aumentado:
Agora escrevo as equações de Euler–Lagrange para cada coordenada.
Para
:
Para
:
Para
:
Observação física importante: os multiplicadores
e
correspondem às componentes generalizadas das forças de vínculo aplicadas às coordenadas
e
. Comparando com as equações de Newton escritas de modo clássico (para
e
, tomando para cada massa a equação
com sinal padronizado), vemos que as tensões
e
no fio nas duas laterais se relacionam com os multiplicadores por
(Isto porque, por exemplo, para
a equação de Newton com sinal usado aqui é
, que rearranjada dá
.)
Agora uso as relações de vínculo cinemático para reduzir incógnitas: as velocidades/ acelerações estão ligadas por
e
, e pela não-deslizamento
. Denoto
. Substituo nas equações:
Equações das massas:
Ou, usando
,
Equação da roldana (usando
):
Substituindo
nas expressões:
Multiplicando por
:
Agrupando termos em
:
Logo a aceleração é
Usando
(dado no enunciado), simplifica-se:
Agora as tensões (forças de vínculo) ficam, substituindo
:
Podemos simplificar as formas fechadas:
(Verifique por álgebra: multiplicando e rearranjando as expressões anteriores chega-se nessas formas; são formas úteis e simétricas.)
Interpretação: quando
(roldana desprezível) recupera-se
e
— atenção: para roldana desprezível as duas tensões são iguais e a expressão acima pode ser reduzida consistentemente (checar limites em casos específicos).
Resposta
A)
(posição de
para baixo); vínculo
.
B)
C) , isto é
D) Equações de vínculo (não deslizamento): (logo
). Com
,
Tensões (forças de vínculo) são
B)
C)
D) Equações de vínculo (não deslizamento):