5^{\circ} ) Partindo do pressuposto que a curva de demanda do indivíduo seja: \operatorname{lnq2}=1,96-0,2 \operatorname{lnp} 1-0,1 \operatorname{lnp} 2+0,3 \operatorname{lnp} 3+ 0,15 \ln \mathrm{R}. Calcule as elasticidades preço-demanda no ponto inicial, preço-cruzada e renda.

Passo 1

O enunciado dá a função de procura do indivíduo (em forma logarítmica):
\ln q_2 = 1,96 - 0,2\ln p_1 - 0,1\ln p_2 + 0,3\ln p_3 + 0,15\ln R.
O que se pede:
  • Calcular a elasticidade-preço da procura no ponto inicial (elasticidade própria de q_2 em relação a p_2);
  • Calcular as elasticidades-preço cruzadas (elasticidade de q_2 em relação a p_1 e a p_3);
  • Calcular a elasticidade-renda (elasticidade de q_2 em relação a R).
Não foram dados valores numéricos de p_1,p_2,p_3,R — isso será relevante para interpretar se a elasticidade dependesse do ponto, mas já vamos ver o que vale aqui.

Passo 2

Vamos recordar o que é elasticidade de procura e como calculá‑la. Elasticidade-preço da procura de q_2 em relação a um preço p_j é definida por
E_{q_2,p_j}=\frac{\partial q_2}{\partial p_j}\cdot\frac{p_j}{q_2}.
Isto mede a variação percentual de q_2 diante de uma variação percentual de p_j: por exemplo, E_{q_2,p_j}=-0,1 significa que um aumento de 1\% em p_j reduz q_2 em 0,1\%.
Quando a relação entre variáveis está em forma logarítmica (modelo log–log), há uma identidade muito útil:
\frac{\partial \ln q_2}{\partial \ln p_j} = \frac{\partial q_2 / q_2}{\partial p_j / p_j} = \frac{\partial q_2}{\partial p_j}\cdot\frac{p_j}{q_2} = E_{q_2,p_j}.
Ou seja, a derivada de \ln q_2 em relação a \ln p_j é exatamente a elasticidade de q_2 em relação a p_j.

Passo 3

Aplicando isso à equação dada: cada coeficiente que acompanha \ln de uma variável é a elasticidade dessa variável sobre \,q_2.
Da equação
\ln q_2 = 1,96 - 0,2\ln p_1 - 0,1\ln p_2 + 0,3\ln p_3 + 0,15\ln R
temos diretamente:
  • o coeficiente de \ln p_2 é -0,1 → elasticidade-preço própria (de q_2 em relação a p_2) é -0,1;
  • o coeficiente de \ln p_1 é -0,2 → elasticidade-preço cruzada de p_1 sobre q_2 é -0,2;
  • o coeficiente de \ln p_3 é 0,3 → elasticidade-preço cruzada de p_3 sobre q_2 é 0,3;
  • o coeficiente de \ln R é 0,15 → elasticidade-renda de q_2 é 0,15.
Observação importante: em um modelo log–log como este, as elasticidades são constantes (não dependem dos níveis concretos de p_j ou R), portanto valem no “ponto inicial” e em qualquer outro ponto do domínio do modelo — a elasticidade no ponto inicial é exatamente o coeficiente correspondente.

Passo 4

Interpretações práticas (para decorar e usar na prova):
  • Elasticidade própria -0,1: se p_2 aumenta 1\%, q_2 cai 0,1\%. A procura é inelástica em relação a p_2.
  • Elasticidade cruzada em relação a p_1 igual a -0,2: se p_1 sobe 1\%, q_2 cai 0,2\%. Sinal negativo sugere que p_1 e q_2 são complementares.
  • Elasticidade cruzada em relação a p_3 igual a 0,3: se p_3 sobe 1\%, q_2 aumenta 0,3\%. Sinal positivo sugere que p_3 e q_2 são substitutos.
  • Elasticidade-renda 0,15: um aumento de 1\% na renda R aumenta q_2 em 0,15\%. Bem inelástico — bem normal, mas pouco sensível à renda.
Um último lembrete encorajador: sempre que a função estiver em forma \ln das variáveis, os coeficientes são as elasticidades — isso poupa contas na prova.

Resposta

Elasticidade própria (em relação a p_2): -0,1
Elasticidade cruzada (em relação a p_1): -0,2
Elasticidade cruzada (em relação a p_3): 0,3
Elasticidade-renda (em relação a R): 0,15

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