Ex.1.Um semigrupo é um conjunto não-vazio com uma operação binária fechada(isto é, a cada par de elementos do conjunto corresponde um terceiro elemento do próprio conjunto) e associativa;assim,em relação aos axiomas de grupo,não há necessariamente inversos e não existe uma identidade(isto é,um elemento neutro).Um monóide é um semigrupo que possui uma identidade.Dê exemplo de um monóide que não é um grupo,e dê exemplo de um semigrupo que não é um monóide.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas bem claras:
- Dar um exemplo de um monóide que não é um grupo.
- Dar um exemplo de um semigrupo que não é um monóide.
Informações relevantes (retiradas do enunciado):
- Semigrupo: conjunto não vazio com uma operação binária que é fechada e associativa.
- Monóide: semigrupo que possui uma identidade (um elemento neutro).
- Grupo: monóide em que todo elemento tem inverso (para cada
existe tal que e ).
Passo 2
O que preciso mostrar para cada exemplo:
- Para um monóide que não é grupo: mostrar que a estrutura tem fechamento, é associativa e tem identidade, mas existe pelo menos um elemento que não tem inverso.
- Para um semigrupo que não é monóide: mostrar que a estrutura tem fechamento e é associativa, mas que não existe elemento identidade em todo o conjunto.
Antes de dar os exemplos, explico os conceitos usados (com calma e exemplos intuitivos).
- Fechamento: a operação aplicada a dois elementos do conjunto sempre produz um elemento do mesmo conjunto. Ex.: somar dois naturais gera outro natural.
- Associatividade:
para quaisquer . Ex.: soma e multiplicação usuais são associativas. - Identidade (elemento neutro): existe
tal que para todo . - Inverso: para um dado
, existe tal que .
Passo 3
Exemplo 1 — propondo a estrutura:
Considere o conjunto (números naturais incluindo o zero) com a operação de soma
. Vou verificar as propriedades:
Considere o conjunto
Fechamento:
- Se
então é um número natural (em ). Logo a soma é fechada.
Associatividade:
- A soma de números inteiros é associativa, isto é, para quaisquer
vale . (Isto é uma propriedade básica da adição que pode ser vista diretamente contando ou por axiomas de Peano.)
Existência de identidade:
- O elemento
é identidade, porque para todo tem-se .
Portanto
é um monóide.
Passo 4
Mostrar que
não é um grupo:
- Num grupo, todo elemento deve ter inverso. Tomemos
. Se existisse tal que então teríamos , mas . Em termos simples: não existe número natural que somado a dê . Portanto o elemento não tem inverso em . - Como existe pelo menos um elemento sem inverso,
não é um grupo.
Comentário amigo: essa é a razão intuitiva — falta “subtração” fechada no conjunto dos naturais com zero; para ter inversos precisaríamos sair do conjunto (entrar nos inteiros negativos).
Passo 5
Exemplo 2 — semigrupo que não é monóide:
Considere o conjunto (naturais sem o zero) com a operação de soma
. Verifico as propriedades:
Considere o conjunto
Fechamento:
- Para
tem-se . Portanto a soma é fechada.
Associatividade:
- A soma é associativa como antes:
para quaisquer .
Ausência de identidade:
- Suponha, para obter contradição, que exista um elemento
tal que para todo . Tomando obtemos , daí . Mas por definição do conjunto escolhido. Logo não existe tal em . Portanto não há identidade.
Conclusão:
é um semigrupo (fechado e associativo) que não é monóide (pois não tem identidade).
Passo 6
Observações finais e outras alternativas (para consolidar):
- Outra escolha comum para monóide não grupo: o conjunto de todas as matrizes
com entradas reais, com a multiplicação de matrizes, forma um monóide (identidade é a matriz identidade) mas não é um grupo porque nem toda matriz é invertível. - Outra escolha para semigrupo sem identidade: qualquer subconjunto não-vazio fechado e associativo que não contenha o neutro esperado — por exemplo, o conjunto dos inteiros positivos pares
com a soma tem fechamento e associatividade, mas não tem identidade (0 não pertence).
Força aí — os exemplos acima são os clássicos e fáceis de lembrar na prova: naturais com zero (monóide não grupo) e naturais sem zero (semigrupo sem identidade).