Ex.1.Um semigrupo é um conjunto não-vazio com uma operação binária fechada(isto é, a cada par de elementos do conjunto corresponde um terceiro elemento do próprio conjunto) e associativa;assim,em relação aos axiomas de grupo,não há necessariamente inversos e não existe uma identidade(isto é,um elemento neutro).Um monóide é um semigrupo que possui uma identidade.Dê exemplo de um monóide que não é um grupo,e dê exemplo de um semigrupo que não é um monóide.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas bem claras:
  • Dar um exemplo de um monóide que não é um grupo.
  • Dar um exemplo de um semigrupo que não é um monóide.
Informações relevantes (retiradas do enunciado):
  • Semigrupo: conjunto não vazio com uma operação binária que é fechada e associativa.
  • Monóide: semigrupo que possui uma identidade (um elemento neutro).
  • Grupo: monóide em que todo elemento tem inverso (para cada a existe a^{-1} tal que a\cdot a^{-1}=e e a^{-1}\cdot a=e).

Passo 2

O que preciso mostrar para cada exemplo:
  • Para um monóide que não é grupo: mostrar que a estrutura tem fechamento, é associativa e tem identidade, mas existe pelo menos um elemento que não tem inverso.
  • Para um semigrupo que não é monóide: mostrar que a estrutura tem fechamento e é associativa, mas que não existe elemento identidade em todo o conjunto.
Antes de dar os exemplos, explico os conceitos usados (com calma e exemplos intuitivos).
  • Fechamento: a operação aplicada a dois elementos do conjunto sempre produz um elemento do mesmo conjunto. Ex.: somar dois naturais gera outro natural.
  • Associatividade: (a\star b)\star c = a\star(b\star c) para quaisquer a,b,c. Ex.: soma e multiplicação usuais são associativas.
  • Identidade (elemento neutro): existe e tal que e\star a = a\star e = a para todo a.
  • Inverso: para um dado a, existe b tal que a\star b = b\star a = e.

Passo 3

Exemplo 1 — propondo a estrutura:
Considere o conjunto \mathbb{N}_0=\{0,1,2,\dots\} (números naturais incluindo o zero) com a operação de soma +. Vou verificar as propriedades:
Fechamento:
  • Se a,b\in\mathbb{N}_0 então a+b é um número natural (em \mathbb{N}_0). Logo a soma é fechada.
Associatividade:
  • A soma de números inteiros é associativa, isto é, para quaisquer a,b,c\in\mathbb{N}_0 vale (a+b)+c = a+(b+c). (Isto é uma propriedade básica da adição que pode ser vista diretamente contando ou por axiomas de Peano.)
Existência de identidade:
  • O elemento 0 é identidade, porque para todo a\in\mathbb{N}_0 tem-se 0 + a = a = a + 0.
Portanto (\mathbb{N}_0,+) é um monóide.

Passo 4

Mostrar que (\mathbb{N}_0,+) não é um grupo:
  • Num grupo, todo elemento deve ter inverso. Tomemos a=1. Se existisse b\in\mathbb{N}_0 tal que 1+b=0 então teríamos b=-1, mas -1\notin\mathbb{N}_0. Em termos simples: não existe número natural b que somado a 1 0. Portanto o elemento 1 não tem inverso em \mathbb{N}_0.
  • Como existe pelo menos um elemento sem inverso, (\mathbb{N}_0,+) não é um grupo.
Comentário amigo: essa é a razão intuitiva — falta “subtração” fechada no conjunto dos naturais com zero; para ter inversos precisaríamos sair do conjunto (entrar nos inteiros negativos).

Passo 5

Exemplo 2 — semigrupo que não é monóide:
Considere o conjunto \mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\} (naturais sem o zero) com a operação de soma +. Verifico as propriedades:
Fechamento:
  • Para a,b\in\mathbb{N} tem-se a+b\in\mathbb{N}. Portanto a soma é fechada.
Associatividade:
  • A soma é associativa como antes: (a+b)+c = a+(b+c) para quaisquer a,b,c\in\mathbb{N}.
Ausência de identidade:
  • Suponha, para obter contradição, que exista um elemento e\in\mathbb{N} tal que e+a=a para todo a\in\mathbb{N}. Tomando a=1 obtemos e+1=1, daí e=0. Mas 0\notin\mathbb{N} por definição do conjunto escolhido. Logo não existe tal e em \mathbb{N}. Portanto não há identidade.
Conclusão: (\mathbb{N},+) é um semigrupo (fechado e associativo) que não é monóide (pois não tem identidade).

Passo 6

Observações finais e outras alternativas (para consolidar):
  • Outra escolha comum para monóide não grupo: o conjunto de todas as matrizes n\times n com entradas reais, com a multiplicação de matrizes, forma um monóide (identidade é a matriz identidade) mas não é um grupo porque nem toda matriz é invertível.
  • Outra escolha para semigrupo sem identidade: qualquer subconjunto não-vazio fechado e associativo que não contenha o neutro esperado — por exemplo, o conjunto dos inteiros positivos pares \{2,4,6,\dots\} com a soma tem fechamento e associatividade, mas não tem identidade (0 não pertence).
Força aí — os exemplos acima são os clássicos e fáceis de lembrar na prova: naturais com zero (monóide não grupo) e naturais sem zero (semigrupo sem identidade).

Resposta

(\mathbb{N}_0,+), onde \mathbb{N}_0=\{0,1,2,\dots\} (monóide que não é grupo).
(\mathbb{N},+), onde \mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\} (semigrupo que não é monóide).

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