Presume-se que um produtor possa escolher entre plantar beterraba ou outro alimento; os bens são, portanto, substitutos. Sabendo-se que a oferta de cana-de-açúcar pode ser representada pela seguinte equação:
Q_{O} C=40+3 P_{C}-P_{B}
Onde Q_{O} C é a quantidade ofertada em milhões de toneladas de cana-de-açúcar, P_{C} é o preço de cana-de-açúcar em dólares por tonelada e P_{B}, o preço da beterraba em dólares por tonelada. Suponha que no equilíbrio o preço de cana-deaçúcar seja US 95 por tonelada, o preço da beterraba é de USçé 125 por tonelada e que a quantidade de equilíbrio da cana-de-acúcar é de 200 milhões de toneladas:
Calcule a elasticidade-preço cruzada da oferta da cana-de-açúcar, quando varia o preço da beterraba.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
  • Equação da oferta de cana-de-açúcar (peguei do enunciado):
Q_{O}^{C}=40+3P_{C}-P_{B}
  • Definições das variáveis (também do enunciado):
    • Q_{O}^{C} é a quantidade ofertada de cana-de-açúcar (em milhões de toneladas).
    • P_{C} é o preço da cana-de-açúcar (em US$ por tonelada).
    • P_{B} é o preço da beterraba (em US$ por tonelada).
  • Valores de equilíbrio fornecidos:
    • P_{C}=95
    • P_{B}=125
    • Q_{O}^{C}=200
O que o enunciado pede:
  • Calcular a elasticidade-preço cruzada da oferta da cana-de-açúcar em relação ao preço da beterraba.

Passo 2

O que é a elasticidade-preço cruzada da oferta? Explicando passo a passo e com calma.
  • Elasticidade-preço cruzada da oferta de Q_{O}^{C} em relação a P_{B} mede a variação percentual de Q_{O}^{C} quando P_{B} varia 1% — mantendo todo o resto constante (ceteris paribus).
  • A fórmula que usamos (para funções contínuas diferenciáveis) é:
E_{Q_{O}^{C},P_{B}}=\frac{\partial Q_{O}^{C}}{\partial P_{B}}\cdot\frac{P_{B}}{Q_{O}^{C}}.
  • Aqui \frac{\partial Q_{O}^{C}}{\partial P_{B}} é a derivada parcial de Q_{O}^{C} em relação a P_{B} (ou seja, a inclinação da oferta quando mudamos só P_{B}).
  • Multiplicamos por \frac{P_{B}}{Q_{O}^{C}} para passar de variação absoluta para variação percentual (isso transforma \Delta Q por unidade de \Delta P em elasticidade).

Passo 3

Calcular a derivada parcial \frac{\partial Q_{O}^{C}}{\partial P_{B}} a partir da função de oferta dada.
A função é
Q_{O}^{C}=40+3P_{C}-P_{B}.
Derivando em relação a P_{B} (tratando P_{C} como constante):
\frac{\partial Q_{O}^{C}}{\partial P_{B}}=-1.
Explicação simples: a relação é linear e o coeficiente multiplicando P_{B} é -1, então um aumento de 1 dólar no preço da beterraba reduz a oferta de cana em 1 milhão de toneladas (ceteris paribus).

Passo 4

Substituir a derivada e os valores de equilíbrio na fórmula da elasticidade.
Usando
E_{Q_{O}^{C},P_{B}}=\frac{\partial Q_{O}^{C}}{\partial P_{B}}\cdot\frac{P_{B}}{Q_{O}^{C}},
temos
E_{Q_{O}^{C},P_{B}} = (-1)\cdot\frac{125}{200}.
Agora simplificamos a fração:
\frac{125}{200}=\frac{5}{8}=0,625.
Portanto
E_{Q_{O}^{C},P_{B}} = -0,625.

Passo 5

Interpretação didática do resultado (como usar isso na prova):
  • O sinal negativo ( -) significa que quando o preço da beterraba aumenta, a oferta de cana-de-açúcar diminui. Isso faz sentido: beterraba e cana são bens substitutos na produção — se beterraba fica mais lucrativa, produtores migram para ela, reduzindo oferta de cana.
  • O valor absoluto 0,625 (ou 5/8) indica a sensibilidade percentual: um aumento de 1\% no preço da beterraba leva, em equilíbrio ceteris paribus, a uma redução de 0,625\% na quantidade ofertada de cana-de-açúcar.
  • Como |E|<1, a oferta responde de forma inelástica em termos cruzados — a mudança percentual na oferta é menor que a mudança percentual no preço da beterraba.
  • Dica prática para a prova: sempre calcule a derivada parcial direta da função dada (aqui foi imediato porque é linear) e depois multiplique por P/Q usando os valores de equilíbrio fornecidos.

Resposta

-0,625

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