Presume-se que um produtor possa escolher entre plantar beterraba ou outro alimento; os bens são, portanto, substitutos. Sabendo-se que a oferta de cana-de-açúcar pode ser representada pela seguinte equação:
Onde
é a quantidade ofertada em milhões de toneladas de cana-de-açúcar,
é o preço de cana-de-açúcar em dólares por tonelada e
, o preço da beterraba em dólares por tonelada. Suponha que no equilíbrio o preço de cana-deaçúcar seja US
125 por tonelada e que a quantidade de equilíbrio da cana-de-acúcar é de 200 milhões de toneladas:
Calcule a elasticidade-preço cruzada da oferta da cana-de-açúcar, quando varia o preço da beterraba.
Calcule a elasticidade-preço cruzada da oferta da cana-de-açúcar, quando varia o preço da beterraba.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
- Equação da oferta de cana-de-açúcar (peguei do enunciado):
- Definições das variáveis (também do enunciado):
-
é a quantidade ofertada de cana-de-açúcar (em milhões de toneladas). -
é o preço da cana-de-açúcar (em US$ por tonelada). -
é o preço da beterraba (em US$ por tonelada).
-
- Valores de equilíbrio fornecidos:
-
O que o enunciado pede:
- Calcular a elasticidade-preço cruzada da oferta da cana-de-açúcar em relação ao preço da beterraba.
Passo 2
O que é a elasticidade-preço cruzada da oferta? Explicando passo a passo e com calma.
- Elasticidade-preço cruzada da oferta de
em relação a mede a variação percentual de quando varia 1% — mantendo todo o resto constante (ceteris paribus). - A fórmula que usamos (para funções contínuas diferenciáveis) é:
- Aqui
é a derivada parcial de em relação a (ou seja, a inclinação da oferta quando mudamos só ). - Multiplicamos por
para passar de variação absoluta para variação percentual (isso transforma por unidade de em elasticidade).
Passo 3
Calcular a derivada parcial
a partir da função de oferta dada.
A função é
Derivando em relação a
(tratando
como constante):
Explicação simples: a relação é linear e o coeficiente multiplicando
é
, então um aumento de
dólar no preço da beterraba reduz a oferta de cana em
milhão de toneladas (ceteris paribus).
Passo 4
Substituir a derivada e os valores de equilíbrio na fórmula da elasticidade.
Usando
temos
Agora simplificamos a fração:
Portanto
Passo 5
Interpretação didática do resultado (como usar isso na prova):
- O sinal negativo (
) significa que quando o preço da beterraba aumenta, a oferta de cana-de-açúcar diminui. Isso faz sentido: beterraba e cana são bens substitutos na produção — se beterraba fica mais lucrativa, produtores migram para ela, reduzindo oferta de cana. - O valor absoluto
(ou ) indica a sensibilidade percentual: um aumento de no preço da beterraba leva, em equilíbrio ceteris paribus, a uma redução de na quantidade ofertada de cana-de-açúcar. - Como
, a oferta responde de forma inelástica em termos cruzados — a mudança percentual na oferta é menor que a mudança percentual no preço da beterraba. - Dica prática para a prova: sempre calcule a derivada parcial direta da função dada (aqui foi imediato porque é linear) e depois multiplique por
usando os valores de equilíbrio fornecidos.