2^{\circ} ) ( 2,5 pontos) Um painel plano usado em uma nave espacial é fabricado a partir de uma camada de silicato de 0,010 \mathrm{~m} de espessura. O ambiente interno da nave está a uma temperatura de \mathrm{T}_{\infty} \mathrm{i}=298 \mathrm{~K}. Quando a nave está em órbita, o painel fica exposto ao espaço profundo cuja temperatura é igual 0 K (zero Kelvin). O material do painel tem uma condutividade térmica de 5 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} e emissividade de 0,8 . A superficie interna do painel está exposta a um fluxo de ar com \mathrm{h}=70 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} . \mathrm{K}. a) Determine a temperatura da superficie externa do painel. b) Determine o fluxo de calor.

Passo 1

O enunciado descreve um painel plano de silicato com espessura \,L=0{,}010\\ \mathrm{m}, condutividade térmica \,k=5\\ \mathrm{W/(m\cdot K)} e emissividade \,\varepsilon=0{,}8. A superfície interna vê um ar a \,T_{\infty i}=298\\ \mathrm{K} com coeficiente de convecção \,h=70\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}. A superfície externa radia para o espaço profundo em \,T_{\infty e}=0\\ \mathrm{K}. Queremos achar a temperatura da face externa \,T_s e o fluxo de calor por unidade de área \,q'' em regime estacionário.

Passo 2

Modelamos em 1-D um circuito térmico com três “resistências” por unidade de área:
R_{\rm conv}=\frac{1}{h}, \quad R_{\rm cond}=\frac{L}{k}, \quad R_{\rm rad}=\frac{1}{h_{\rm rad}}
onde o coeficiente de radiação linearizado para fundo a zero é
h_{\rm rad}=\varepsilon\,\sigma\,(T_s^2+0^2)\,(T_s+0)=\varepsilon\,\sigma\,T_s^3.

Passo 3

Em regime permanente o fluxo é o mesmo por convecção, condução e radiação, ou seja,
q''=\frac{T_{\infty i}-T_s}{R_{\rm conv}+R_{\rm cond}} \quad\text{e}\quad q''=\varepsilon\,\sigma\,T_s^4.
Somando as resistências lineares:
R_{\rm conv}+R_{\rm cond} =\frac{1}{70}+\frac{0{,}010}{5} \approx0{,}01429+0{,}00200=0{,}01629\\ \mathrm{K\,m^2/W}.
Logo a equação a resolver é
\frac{298 - T_s}{0{,}01629} =\;0{,}8\;\times5{,}67\times10^{-8}\;T_s^4.

Passo 4

Aplicando-se o método de Newton para f(T_s)=\tfrac{298 - T_s}{0{,}01629}-0{,}8\cdot5{,}67\cdot10^{-8}\,T_s^4, escolhemos T_{s,0}=290\\ \mathrm{K} e iteramos:
T_{s,1}\approx292{,}58\\ \mathrm{K}, \quad T_{s,2}\approx292{,}57\\ \mathrm{K}.
Assim, em equilíbrio \,T_s\approx292{,}6\\ \mathrm{K}. O fluxo fica
q''=\frac{298 - 292{,}57}{0{,}01629}\approx333\\ \mathrm{W/m^2}.

Resposta

a) T_s \approx 292{,}6\\ \mathrm{K}.
b) q'' \approx 333\\ \mathrm{W/m^2}.

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