Um processo exotérmico ocorre de modo uniforme ao longo de uma esfera
(k=300 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K}, \mathrm{cp}=400 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} . \mathrm{K} \quad \mathcal{} \quad \mathcal{}=7500 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}) de 10 cm de diâmetro, gerando calor a ırma taxa constante de 1.2 \mathrm{MW} / \mathrm{m}^{3}. A esfera está inicialmente a uma temperatura uniforme de 25^{\circ} \mathrm{C}, e o processo exotérmico inicia-se no momento \mathrm{t}=0. Para manter a temperatura da esfera sob controle, ela é imersa em banho líquido mantido a 25^{\circ} \mathrm{C}. O Coeficiente de transferência de calor na superfície da esfera é 260 \mathrm{W} / \mathrm{m}^{2} . \mathrm{K}. Devido a alta condutividade térmica da esfera, a resistência condutiva dentro dela pode ser negligenciada rm comparação com a resistência convectiva da superficie.
a) Calcule a temperatura de equilibrio

Passo 1

Temos uma esfera de raio r=0,05~\mathrm{m} com geração volumétrica uniforme de calor \dot q'''=1,2\times10^{6}~\mathrm{W/m^{3}}, imersa em banho a T_{\infty}=25\,^{\circ}\mathrm{C} com coeficiente de convecção h=260~\mathrm{W/(m^{2}K)}. Devido à alta condutividade, a temperatura interna é praticamente uniforme e podemos usar o modelo de balanço de energia no estado estacionário: geração interna de calor igual ao calor removido por convecção.

Passo 2

A geração total de calor é
\dot Q_{\mathrm{gen}}=\dot q'''\,V
e o calor removido por convecção é
\dot Q_{\mathrm{conv}}=h\,A\,(T_{\mathrm{eq}}-T_{\infty})
No equilíbrio tem-se
\dot Q_{\mathrm{gen}}=\dot Q_{\mathrm{conv}} \quad\Longrightarrow\quad \dot q'''\,V = h\,A\,(T_{\mathrm{eq}}-T_{\infty})

Passo 3

Isolando T_{\mathrm{eq}} obtemos
T_{\mathrm{eq}} = T_{\infty} +\frac{\dot q'''\,V}{h\,A}

Passo 4

Calculemos o volume V e a área de superfície A:
V=\frac{4}{3}\,\pi\,r^{3} =\frac{4}{3}\,\pi\,(0,05)^{3} \approx5{,}235\times10^{-4}~\mathrm{m^{3}}
A=4\,\pi\,r^{2} =4\,\pi\,(0,05)^{2} \approx0{,}03142~\mathrm{m^{2}}
Então
\dot q'''\,V =1{,}2\times10^{6}\times5{,}235\times10^{-4} \approx628{,}2~\mathrm{W} \quad,\quad h\,A =260\times0{,}03142 \approx8{,}168~\mathrm{W/K}
Logo
T_{\mathrm{eq}} =25 +\frac{628{,}2}{8{,}168} \approx25+76{,}9 \approx101{,}9\,^{\circ}\mathrm{C}

Resposta

A temperatura de equilíbrio é aproximadamente 102\,^{\circ}\mathrm{C}.

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