\mathbf{1}^{\boldsymbol{\circ}} ) (2,5 pontos) Como já foi dito durante as palestras sobre condução de calor, a lei de Fourier tem algumas limitações, a saber: não pode ser aplicada em nanoescala nem na escala quântica. Algumas alterações tem sido sugeridas e uma das mais bem sucessivas é aquela proposta por CATTANEO e VERNOTTE. No entanto, em alguns casos, este modelo ainda apresenta situações incomuns, resultados fisicamente impossíveis, como quando produz valores negativos para entropia, violando a segunda lei da termodinâmica. Em sua pesquisa, Tzou (TZOU, 1995), apresentou uma abordagem diferenciada, um modelo no qual são adicionadas duas constantes: um tempo de relaxação do gradiente de temperatura e também um tempo de relaxação do fluxo de calor. Estas constantes evidenciam que a partir do momento em que um fluxo de calor é estabelecido, é necessário um certo tempo para que aconteça o gradiente de temperatura. Assim,o fluxo de calor é escrito da seguinte forma:
{ }^{\mathrm{I}} \stackrel{\mathrm{I}}{\mathrm{r}}, t+\tau=-k \nabla T \stackrel{\mathrm{I}}{r}, t+\tau_{T}
Em que \tau representa o atraso de tempo necessário para estabelecer o fluxo de calor e \tau_{T} é o tempo de relaxação térmico.Usando a expansão em série de Taylor, tem-se:
\stackrel{\mathrm{r}}{q} r, t+\tau=\stackrel{\mathrm{r}}{q} r, t+\tau \frac{\partial \dot{q}}{\partial t}
e
\stackrel{\mathrm{r}}{\nabla} T \stackrel{\mathrm{r}}{\mathrm{r}}, t+\tau_{T}=\stackrel{\mathrm{r}}{\nabla} T+\tau_{T} \frac{\partial \stackrel{\mathrm{I}}{\nabla} T}{\partial t}
Deduza uma nova equação de condução de calor e determine a velocidade de propagação da onda térmica.

Passo 1

O enunciado apresenta o modelo de condução de calor no qual tanto o fluxo de calor \mathbf{q} quanto o gradiente de temperatura \nabla T sofrem “atrasos” de tempo: um atraso \tau para o fluxo e outro \tau_{T} para o gradiente. Nosso objetivo é usar expansões em série de Taylor, junto à conservação de energia, para deduzir a equação de condução de calor correspondente e, a partir dela, identificar a velocidade de propagação da onda térmica.

Passo 2

Escrevemos a lei de Fourier com atrasos de tempo e expandimos em série de Taylor até primeira ordem:
\mathbf{q}(\mathbf{r},t+\tau) \approx \mathbf{q}(\mathbf{r},t) + \tau\,\frac{\partial \mathbf{q}}{\partial t}(\mathbf{r},t),
\nabla T(\mathbf{r},t+\tau_{T}) \approx \nabla T(\mathbf{r},t) + \tau_{T}\,\frac{\partial}{\partial t}\bigl(\nabla T(\mathbf{r},t)\bigr).
Como a lei modificada diz
\mathbf{q}(\mathbf{r},t+\tau) = -\,k\,\nabla T(\mathbf{r},t+\tau_{T}),
substituímos as expansões para obter
\mathbf{q} + \tau\,\frac{\partial \mathbf{q}}{\partial t} = -\,k\Bigl(\nabla T + \tau_{T}\,\frac{\partial}{\partial t}(\nabla T)\Bigr).

Passo 3

Usamos a conservação de energia sem geração de calor:
\nabla\!\cdot\!\mathbf{q} + \rho\,c\,\frac{\partial T}{\partial t} = 0.
Queremos eliminar \mathbf{q}, por isso aplicamos \nabla\!\cdot na relação do passo anterior.

Passo 4

Divergindo ambos os lados de
\mathbf{q} + \tau\,\partial_{t}\mathbf{q} = -k\bigl(\nabla T + \tau_{T}\,\partial_{t}\nabla T\bigr),
obtemos
\nabla\!\cdot\!\mathbf{q} + \tau\,\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\!\cdot\!\mathbf{q}) = -\,k\Bigl(\nabla^{2}T + \tau_{T}\,\frac{\partial}{\partial t}(\nabla^{2}T)\Bigr).
Como \nabla\!\cdot\!\mathbf{q} = -\rho c\,\partial_{t}T, isso vira
-\rho c\,\frac{\partial T}{\partial t} - \rho c\,\tau\,\frac{\partial^{2}T}{\partial t^{2}} = -\,k\Bigl(\nabla^{2}T + \tau_{T}\,\nabla^{2}\frac{\partial T}{\partial t}\Bigr).

Passo 5

Multiplicando por -1 e dividindo por \rho c, com \alpha=\frac{k}{\rho c}, chegamos à equação de condução de calor dual-phase-lag:
\tau\,\frac{\partial^{2}T}{\partial t^{2}} + \frac{\partial T}{\partial t} = \alpha\Bigl(\nabla^{2}T + \tau_{T}\,\nabla^{2}\frac{\partial T}{\partial t}\Bigr).

Passo 6

Para identificar a velocidade de propagação da onda térmica, consideramos o comportamento inicial (onde os termos difusivos dominados por \nabla^{2}\frac{\partial T}{\partial t} são desprezíveis) e obtemos o modelo hiperbólico aproximado:
\tau\,\frac{\partial^{2}T}{\partial t^{2}} \approx \alpha\,\nabla^{2}T,
que é uma equação de onda com “velocidade”
c \;=\;\sqrt{\frac{\alpha}{\tau}}.

Resposta

A nova equação de condução de calor é
\tau\,\frac{\partial^{2}T}{\partial t^{2}} + \frac{\partial T}{\partial t} = \alpha\Bigl(\nabla^{2}T + \tau_{T}\,\nabla^{2}\frac{\partial T}{\partial t}\Bigr),
e a velocidade de propagação da onda térmica é
c = \sqrt{\frac{\alpha}{\tau}}.

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