) (2,5 pontos) Como já foi dito durante as palestras sobre condução de calor, a lei de Fourier tem algumas limitações, a saber: não pode ser aplicada em nanoescala nem na escala quântica. Algumas alterações tem sido sugeridas e uma das mais bem sucessivas é aquela proposta por CATTANEO e VERNOTTE. No entanto, em alguns casos, este modelo ainda apresenta situações incomuns, resultados fisicamente impossíveis, como quando produz valores negativos para entropia, violando a segunda lei da termodinâmica. Em sua pesquisa, Tzou (TZOU, 1995), apresentou uma abordagem diferenciada, um modelo no qual são adicionadas duas constantes: um tempo de relaxação do gradiente de temperatura e também um tempo de relaxação do fluxo de calor. Estas constantes evidenciam que a partir do momento em que um fluxo de calor é estabelecido, é necessário um certo tempo para que aconteça o gradiente de temperatura. Assim,o fluxo de calor é escrito da seguinte forma:
Em que
representa o atraso de tempo necessário para estabelecer o fluxo de calor e
é o tempo de relaxação térmico.Usando a expansão em série de Taylor, tem-se:
e
Deduza uma nova equação de condução de calor e determine a velocidade de propagação da onda térmica.
e
Deduza uma nova equação de condução de calor e determine a velocidade de propagação da onda térmica.
Passo 1
O enunciado apresenta o modelo de condução de calor no qual tanto o fluxo de calor
quanto o gradiente de temperatura
sofrem “atrasos” de tempo: um atraso
para o fluxo e outro
para o gradiente. Nosso objetivo é usar expansões em série de Taylor, junto à conservação de energia, para deduzir a equação de condução de calor correspondente e, a partir dela, identificar a velocidade de propagação da onda térmica.
Passo 2
Escrevemos a lei de Fourier com atrasos de tempo e expandimos em série de Taylor até primeira ordem:
Como a lei modificada diz
substituímos as expansões para obter
Passo 3
Usamos a conservação de energia sem geração de calor:
Queremos eliminar
, por isso aplicamos
na relação do passo anterior.
Passo 4
Divergindo ambos os lados de
,
obtemos
obtemos
Como
, isso vira
Passo 5
Multiplicando por
e dividindo por
, com
, chegamos à equação de condução de calor dual-phase-lag:
Passo 6
Para identificar a velocidade de propagação da onda térmica, consideramos o comportamento inicial (onde os termos difusivos dominados por
são desprezíveis) e obtemos o modelo hiperbólico aproximado:
que é uma equação de onda com “velocidade”
Resposta
A nova equação de condução de calor é
e a velocidade de propagação da onda térmica é