) ( 2,0 pontos) Sabendo que em coordenadas retangulares as expressões para
são:
v
,
, onde
.
Deduza a expressão para
(velocidade) em coordenadas polares planas.
são:
v
Deduza a expressão para
Passo 1
O enunciado pede para deduzir a expressão da velocidade
em coordenadas polares planas, sabendo que em coordenadas cartesianas temos
onde
.
Aqui estamos no caso plano (duas coordenadas): usemos e
em vez de
, e as coordenadas polares
(raio) e
(ângulo).
Informações relevantes dadas e que usaremos:
Aqui estamos no caso plano (duas coordenadas): usemos
Informações relevantes dadas e que usaremos:
- expressão vetorial em cartesianas para
e ; - derivada temporal é indicada por ponto:
.
A partir disso devemos obter a forma deescrita em termos de e seus tempos derivados.
Passo 2
Primeiro escrevemos a posição em coordenadas polares usando a relação entre cartesianas e polares:
Portanto, a posição vetorial no plano (ignorando a componente
) é
Agora definimos os versores polares (unidades) — isso é crucial para trabalhar em polares:
Explicação rápida:
aponta na direção radial (do origem para o ponto),
é ortogonal a
no sentido do aumento de
. Ambos têm módulo 1 e
.
Passo 3
Com as definições acima observamos que a posição se escreve de forma muito simples em polares:
Isto é intuitivo: o vetor posição tem magnitude
na direção radial
.
Passo 4
Para obter a velocidade aplicamos a derivada temporal a
. Usamos a regra do produto (porque
e
dependem de
):
Até aqui só aplicamos cálculo elementar (derivada de um produto). Precisamos então encontrar
.
Passo 5
Calculamos a derivada temporal de
usando sua expressão em termos de
:
Derivando componente a componente (lembrando que
são fixos no tempo):
Reconhecemos o parêntese como
. Logo
De forma análoga (se precisar) pode-se derivar
e obter
o que confirma a rotação dos versores com velocidade angular
.
Passo 6
Voltando à expressão da velocidade e substituindo
:
Portanto
Interpretação física rápida: o termo
é a componente radial (muda o tamanho do raio) e o termo
é a componente tangencial (devida à variação angular). A velocidade escalar (módulo) é
Passo 7
Exemplos para fixar:
- Movimento puramente radial (
): — só cresce/diminui o raio. - Movimento circular a raio constante (
): — velocidade tangencial igual a vezes a velocidade angular.
Força um empurrão de ânimo: essa fórmula é clássica e muito útil em prova — decore
entendendo que
gira com velocidade
.