1^{\circ} ) ( 2,0 pontos) Sabendo que em coordenadas retangulares as expressões para
\vec{r}, \vec{v}
são:
v \vec{r}=x_{1} \vec{e}_{1}+x_{2} \vec{e}_{2}+x_{3} \vec{e}_{3}
\approx
\vec{r}=x_{1} \vec{e}_{1}+x_{2} \vec{e}_{2}+x_{3} \vec{e}_{3},
\vec{v}=\dot{\vec{r}}=\dot{x}_{1} \vec{e}_{1}+\dot{x}_{2} \vec{e}_{2}+\dot{x}_{3} \vec{e}_{3}, onde \dot{x}_{i}=\frac{d x_{i}}{d t}.
Deduza a expressão para \vec{V} (velocidade) em coordenadas polares planas.

Passo 1

O enunciado pede para deduzir a expressão da velocidade \vec{v} em coordenadas polares planas, sabendo que em coordenadas cartesianas temos
\vec{r}=x_{1}\,\vec{e}_{1}+x_{2}\,\vec{e}_{2}+x_{3}\,\vec{e}_{3} \qquad\text{e}\qquad \vec{v}=\dot{\vec{r}}=\dot{x}_{1}\,\vec{e}_{1}+\dot{x}_{2}\,\vec{e}_{2}+\dot{x}_{3}\,\vec{e}_{3},
onde \dot{x}_{i}=\dfrac{d x_{i}}{dt}.
Aqui estamos no caso plano (duas coordenadas): usemos x e y em vez de x_{1},x_{2}, e as coordenadas polares r (raio) e \theta (ângulo).
Informações relevantes dadas e que usaremos:
  • expressão vetorial em cartesianas para \vec{r} e \vec{v};
  • derivada temporal é indicada por ponto: \dot{(\cdot)}.
    A partir disso devemos obter a forma de \vec{v} escrita em termos de r,\theta e seus tempos derivados.

Passo 2

Primeiro escrevemos a posição em coordenadas polares usando a relação entre cartesianas e polares:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta.
Portanto, a posição vetorial no plano (ignorando a componente \vec{e}_3) é
\vec{r}=x\,\vec{e}_{1}+y\,\vec{e}_{2}=r\cos\theta\,\vec{e}_{1}+r\sin\theta\,\vec{e}_{2}.
Agora definimos os versores polares (unidades) — isso é crucial para trabalhar em polares:
\hat{e}_{r}=\cos\theta\,\vec{e}_{1}+\sin\theta\,\vec{e}_{2},
\hat{e}_{\theta}=-\sin\theta\,\vec{e}_{1}+\cos\theta\,\vec{e}_{2}.
Explicação rápida: \hat{e}_r aponta na direção radial (do origem para o ponto), \hat{e}_\theta é ortogonal a \hat{e}_r no sentido do aumento de \theta. Ambos têm módulo 1 e \hat{e}_r\perp\hat{e}_\theta.

Passo 3

Com as definições acima observamos que a posição se escreve de forma muito simples em polares:
\vec{r}=r\,\hat{e}_{r}.
Isto é intuitivo: o vetor posição tem magnitude r na direção radial \hat{e}_r.

Passo 4

Para obter a velocidade aplicamos a derivada temporal a \vec{r}. Usamos a regra do produto (porque r e \hat{e}_r dependem de t):
\vec{v}=\dot{\vec{r}}=\dfrac{d}{dt}\bigl(r\,\hat{e}_{r}\bigr)=\dot{r}\,\hat{e}_{r}+r\,\dfrac{d\hat{e}_{r}}{dt}.
Até aqui só aplicamos cálculo elementar (derivada de um produto). Precisamos então encontrar \dfrac{d\hat{e}_{r}}{dt}.

Passo 5

Calculamos a derivada temporal de \hat{e}_{r} usando sua expressão em termos de \theta(t):
\hat{e}_{r}=\cos\theta\,\vec{e}_{1}+\sin\theta\,\vec{e}_{2}.
Derivando componente a componente (lembrando que \vec{e}_{1},\vec{e}_{2} são fixos no tempo):
\dfrac{d\hat{e}_{r}}{dt} = -\sin\theta\,\dot{\theta}\,\vec{e}_{1} + \cos\theta\,\dot{\theta}\,\vec{e}_{2} = \dot{\theta}\bigl(-\sin\theta\,\vec{e}_{1}+\cos\theta\,\vec{e}_{2}\bigr).
Reconhecemos o parêntese como \hat{e}_{\theta}. Logo
\dfrac{d\hat{e}_{r}}{dt}=\dot{\theta}\,\hat{e}_{\theta}.
De forma análoga (se precisar) pode-se derivar \hat{e}_{\theta} e obter
\dfrac{d\hat{e}_{\theta}}{dt}=-\dot{\theta}\,\hat{e}_{r},
o que confirma a rotação dos versores com velocidade angular \dot{\theta}.

Passo 6

Voltando à expressão da velocidade e substituindo \dfrac{d\hat{e}_{r}}{dt}:
\vec{v}=\dot{r}\,\hat{e}_{r}+r\bigl(\dot{\theta}\,\hat{e}_{\theta}\bigr).
Portanto
\vec{v}=\dot{r}\,\hat{e}_{r}+r\dot{\theta}\,\hat{e}_{\theta}.
Interpretação física rápida: o termo \dot{r}\,\hat{e}_{r} é a componente radial (muda o tamanho do raio) e o termo r\dot{\theta}\,\hat{e}_{\theta} é a componente tangencial (devida à variação angular). A velocidade escalar (módulo) é
v=\sqrt{\dot{r}^{2}+\bigl(r\dot{\theta}\bigr)^{2}}.

Passo 7

Exemplos para fixar:
  • Movimento puramente radial ( \dot{\theta}=0): \vec{v}=\dot{r}\,\hat{e}_{r} — só cresce/diminui o raio.
  • Movimento circular a raio constante ( \dot{r}=0): \vec{v}=r\dot{\theta}\,\hat{e}_{\theta} — velocidade tangencial igual a r vezes a velocidade angular.
Força um empurrão de ânimo: essa fórmula é clássica e muito útil em prova — decore \vec{v}=\dot{r}\,\hat{e}_r + r\dot{\theta}\,\hat{e}_\theta entendendo que \hat{e}_r gira com velocidade \dot{\theta}.

Resposta

\displaystyle \vec{v}=\dot{r}\,\hat{e}_{r}+r\dot{\theta}\,\hat{e}_{\theta}

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