) Um projétil de massa
é lançado verticalmente para cima com velocidade
, a partir da superfície de um planeta esférico de massa
e raio
.
(a) Calcule a altura máxima
que o projétil alcança a partir da superfície, como função das variáveis dadas e constantes físicas relevantes.
(b) Calcule a velocidade inicial
para que
. O que acontece quando a velocidade inicial é maior ou igual a esse valor de
.
(a) Calcule a altura máxima
(b) Calcule a velocidade inicial
Passo 1
O enunciado dá um projétil de massa
lançado verticalmente para cima a partir da superfície de um planeta esférico de massa
e raio
, com velocidade inicial
. Pede-se:
(a) calcular a altura máxima atingida a partir da superfície, em função das variáveis dadas e constantes relevantes;
(b) encontrar a velocidade inicial tal que
e dizer o que acontece se a velocidade inicial for maior ou igual a esse valor.
Informações relevantes que o enunciado fornece ou implica: a massa do projétil , a velocidade inicial
, a massa do planeta
, o raio do planeta
, e a constante gravitacional universal
(que iremos usar na expressão da energia potencial gravitacional). Não há resistência do ar nem outras forças além da gravidade.
(a) calcular a altura máxima
(b) encontrar a velocidade inicial
Informações relevantes que o enunciado fornece ou implica: a massa do projétil
Passo 2
Vamos usar conservação de energia mecânica (energia cinética + energia potencial gravitacional). Explico devagarinho:
- Energia cinética de um corpo de massa
com velocidade é . - Energia potencial gravitacional de um corpo de massa
à distância do centro de um corpo de massa (tomando a energia potencial nula no infinito) é . Aqui é a constante gravitacional; o sinal negativo indica que a força é atrativa e que a energia potencial no infinito é zero.
No instante inicial (na superfície,) a energia total inicial é a soma da energia cinética inicial e da energia potencial na superfície:
Passo 3
No ponto de altura máxima
acima da superfície a velocidade é zero, então a energia cinética lá é zero e a energia potencial é
. A energia total naquele ponto é
Pela conservação da energia mecânica,
. Portanto:
Passo 4
Agora vamos manipular essa equação passo a passo para isolar
. Primeiro podemos dividir ambos os lados por
(não-zero), obtendo
Somamos
a ambos os lados e subtraímos
de ambos os lados para reunir os termos convenientemente; mais direto é multiplicar em cruz para eliminar o denominador
. Vamos multiplicar ambos os lados por
:
Agora expandimos o primeiro termo:
Perceba que
aparece em ambos os lados e cancela; somando
aos dois lados fica:
Agrupando os termos que têm
:
Isolando
:
Portanto, desde que o fator à esquerda multiplicando
seja positivo (veremos isso já), obtemos
Passo 5
É conveniente reescrever a expressão de forma um pouco mais limpa multiplicando numerador e denominador por
:
Essa é a expressão da altura máxima
em função de
,
,
e
. Note a condição para
ser finito e positivo: o denominador deve ser positivo, ou seja
Se
aumenta, o denominador diminui e
cresce; quando o denominador tende a zero,
tende a infinito.
Passo 6
Para responder (b) pedimos a velocidade inicial tal que
. Pela expressão anterior isso ocorre quando o denominador se anula:
Tomando a raiz positiva (velocidade escalar),
Explicação física (abreviação didática): esse valor é a velocidade de escape — se a velocidade inicial for exatamente
, a energia total inicial é zero e o projétil chega ao infinito com velocidade tendendo a zero (ou seja, alcança arbitrariamente grande distância). Se a velocidade inicial for maior que
, a energia total inicial é positiva e o projétil escapa para o infinito mantendo uma velocidade residual positiva (ou seja, jamais volta). Se
, a energia total inicial é negativa e o projétil alcança uma altura finita e eventualmente volta à superfície.
Resposta
(a)
(b) Se
o projétil alcança
chegando ao infinito com velocidade nula; se
o projétil escapa para o infinito com energia cinética residual positiva.
(b)