2^{\circ} ) Um projétil de massa m é lançado verticalmente para cima com velocidade v, a partir da superfície de um planeta esférico de massa M e raio R.
(a) Calcule a altura máxima h que o projétil alcança a partir da superfície, como função das variáveis dadas e constantes físicas relevantes.
(b) Calcule a velocidade inicial v para que h \rightarrow \infty. O que acontece quando a velocidade inicial é maior ou igual a esse valor de \boldsymbol{v}.

Passo 1

O enunciado dá um projétil de massa m lançado verticalmente para cima a partir da superfície de um planeta esférico de massa M e raio R, com velocidade inicial v. Pede-se:
(a) calcular a altura máxima h atingida a partir da superfície, em função das variáveis dadas e constantes relevantes;
(b) encontrar a velocidade inicial v tal que h \rightarrow \infty e dizer o que acontece se a velocidade inicial for maior ou igual a esse valor.
Informações relevantes que o enunciado fornece ou implica: a massa do projétil m, a velocidade inicial v, a massa do planeta M, o raio do planeta R, e a constante gravitacional universal G (que iremos usar na expressão da energia potencial gravitacional). Não há resistência do ar nem outras forças além da gravidade.

Passo 2

Vamos usar conservação de energia mecânica (energia cinética + energia potencial gravitacional). Explico devagarinho:
  • Energia cinética de um corpo de massa m com velocidade u é \tfrac{1}{2} m u^2.
  • Energia potencial gravitacional de um corpo de massa m à distância r do centro de um corpo de massa M (tomando a energia potencial nula no infinito) é -\dfrac{G M m}{r}. Aqui G é a constante gravitacional; o sinal negativo indica que a força é atrativa e que a energia potencial no infinito é zero.
    No instante inicial (na superfície, r=R) a energia total inicial é a soma da energia cinética inicial e da energia potencial na superfície:
E_i=\frac{1}{2}m v^2 - \frac{G M m}{R}.

Passo 3

No ponto de altura máxima h acima da superfície a velocidade é zero, então a energia cinética lá é zero e a energia potencial é -\dfrac{G M m}{R+h}. A energia total naquele ponto é
E_f = -\frac{G M m}{R+h}.
Pela conservação da energia mecânica, E_i=E_f. Portanto:
\frac{1}{2}m v^2 - \frac{G M m}{R} = -\frac{G M m}{R+h}.

Passo 4

Agora vamos manipular essa equação passo a passo para isolar h. Primeiro podemos dividir ambos os lados por m (não-zero), obtendo
\frac{1}{2} v^2 - \frac{G M}{R} = -\frac{G M}{R+h}.
Somamos \dfrac{G M}{R+h} a ambos os lados e subtraímos \dfrac{1}{2}v^2 de ambos os lados para reunir os termos convenientemente; mais direto é multiplicar em cruz para eliminar o denominador R+h. Vamos multiplicar ambos os lados por R(R+h):
\frac{1}{2} v^2 \, R(R+h) - G M (R+h) = -G M R.
Agora expandimos o primeiro termo:
\frac{1}{2} v^2 R^2 + \frac{1}{2} v^2 R h - G M R - G M h = -G M R.
Perceba que -G M R aparece em ambos os lados e cancela; somando G M R aos dois lados fica:
\frac{1}{2} v^2 R^2 + \frac{1}{2} v^2 R h - G M h = 0.
Agrupando os termos que têm h:
\frac{1}{2} v^2 R^2 + h\!\left(\frac{1}{2} v^2 R - G M\right)=0.
Isolando h:
h\!\left(G M - \frac{1}{2} v^2 R\right)=\frac{1}{2} v^2 R^2.
Portanto, desde que o fator à esquerda multiplicando h seja positivo (veremos isso já), obtemos
h=\frac{\tfrac{1}{2} v^2 R^2}{G M - \tfrac{1}{2} v^2 R}.

Passo 5

É conveniente reescrever a expressão de forma um pouco mais limpa multiplicando numerador e denominador por 2:
h=\frac{v^2 R^2}{2G M - v^2 R}.
Essa é a expressão da altura máxima h em função de v, R, M e G. Note a condição para h ser finito e positivo: o denominador deve ser positivo, ou seja
2G M - v^2 R > 0 \quad\Longleftrightarrow\quad v^2 < \frac{2G M}{R}.
Se v aumenta, o denominador diminui e h cresce; quando o denominador tende a zero, h tende a infinito.

Passo 6

Para responder (b) pedimos a velocidade inicial tal que h\rightarrow\infty. Pela expressão anterior isso ocorre quando o denominador se anula:
2G M - v^2 R = 0 \quad\Rightarrow\quad v^2 = \frac{2G M}{R}.
Tomando a raiz positiva (velocidade escalar),
v_{\text{esc}}=\sqrt{\frac{2G M}{R}}.
Explicação física (abreviação didática): esse valor é a velocidade de escape — se a velocidade inicial for exatamente v_{\text{esc}}, a energia total inicial é zero e o projétil chega ao infinito com velocidade tendendo a zero (ou seja, alcança arbitrariamente grande distância). Se a velocidade inicial for maior que v_{\text{esc}}, a energia total inicial é positiva e o projétil escapa para o infinito mantendo uma velocidade residual positiva (ou seja, jamais volta). Se v<v_{\text{esc}}, a energia total inicial é negativa e o projétil alcança uma altura finita e eventualmente volta à superfície.

Resposta

(a) h=\dfrac{v^2 R^2}{2G M - v^2 R}.
(b) v_{\text{esc}}=\sqrt{\dfrac{2G M}{R}}. Se v=v_{\text{esc}} o projétil alcança h\to\infty chegando ao infinito com velocidade nula; se v>v_{\text{esc}} o projétil escapa para o infinito com energia cinética residual positiva.

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