Mostre que x \frac{d}{d x}(\delta(x))=-\delta(x).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a identidade
x\frac{d}{dx}\bigl(\delta(x)\bigr) = -\delta(x).
Informações relevantes dadas / que usaremos (sem resolver ainda):
\text{(i)}\quad \delta \text{ é a distribuição delta de Dirac, tal que } \langle \delta,\varphi\rangle=\varphi(0)éçã
para toda função-teste \varphi (função suave de suporte compacto).
\text{(ii)}\quad \text{Derivada de uma distribuição }T \text{ é definida por } \langle T',\varphi\rangle = -\langle T,\varphi'\rangle.çãé
\text{(iii)}\quad \text{Multiplicação de uma distribuição \(T\) por uma função suave \(f\) satisfaz } \langle fT,\varphi\rangle=\langle T,f\varphi\rangle.çãçãçã
Vamos usar essas propriedades para provar a igualdade pedido em sentido de distribuições (isto é, verificando a igualdade na aplicação a qualquer \varphi).

Passo 2

Relembrando detalhadamente as propriedades que vamos aplicar (uma “mini-aula”):
  • A ação de uma distribuição T sobre uma função-teste \varphi é denotada por \langle T,\varphi\rangle. Para \delta temos \langle \delta,\varphi\rangle=\varphi(0).
  • A derivada T' de uma distribuição T é definida para que a diferenciação passe para a função-teste com um sinal negativo:
\langle T',\varphi\rangle = -\langle T,\varphi'\rangle.
Isto generaliza a integração por partes sem termos de contorno, porque funções-teste têm suporte compacto.
  • Se f é uma função suave (por exemplo f(x)=x), então o produto fT é definido por
\langle fT,\varphi\rangle = \langle T, f\varphi\rangle.
Em palavras: multiplicar a distribuição por f é o mesmo que multiplicar a função-teste por f antes de aplicar T.

Passo 3

Agora aplicamos essas definições ao membro esquerdo \;x\frac{d}{dx}\delta.
Seja \varphi uma função-teste arbitrária. Queremos calcular \langle x\delta',\varphi\rangle.
Pelo item (iii) (multiplicação por função suave) temos
\langle x\delta',\varphi\rangle = \langle \delta', x\varphi\rangle.
Aqui usei f(x)=x e T=\delta', então fT = x\delta' e \langle fT,\varphi\rangle=\langle T,f\varphi\rangle.

Passo 4

Agora uso a definição da derivada de distribuição (item (ii)):
\langle \delta', x\varphi\rangle = -\langle \delta, (x\varphi)'\rangle.
Calculamos a derivada do produto x\varphi(x) (regra do produto — isto é cálculo elementar):
(x\varphi)' = \varphi + x\varphi'.
Substituindo,
\langle \delta', x\varphi\rangle = -\langle \delta, \varphi + x\varphi'\rangle.

Passo 5

Agora avaliamos \langle \delta, \varphi + x\varphi'\rangle. Pela propriedade da delta:
\langle \delta, \varphi + x\varphi'\rangle = (\varphi + x\varphi')(0) = \varphi(0) + 0\cdot\varphi'(0) = \varphi(0).
Portanto
\langle x\delta',\varphi\rangle = -\varphi(0).

Passo 6

Mas -\varphi(0) é exatamente \langle -\delta,\varphi\rangle, pois \langle \delta,\varphi\rangle=\varphi(0). Assim para toda função-teste \varphi temos
\langle x\delta',\varphi\rangle = \langle -\delta,\varphi\rangle.
Duas distribuições que coincidem em toda função-teste são iguais, logo
x\delta' = -\delta
no sentido das distribuições. (Intuição rápida: a presença do x anula o termo com \varphi' ao avaliar em 0, sobrando -\varphi(0).)

Resposta

x\frac{d}{dx}\bigl(\delta(x)\bigr) = -\delta(x)

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