Mostre que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a identidade
Informações relevantes dadas / que usaremos (sem resolver ainda):
para toda função-teste
(função suave de suporte compacto).
Vamos usar essas propriedades para provar a igualdade pedido em sentido de distribuições (isto é, verificando a igualdade na aplicação a qualquer
).
Passo 2
Relembrando detalhadamente as propriedades que vamos aplicar (uma “mini-aula”):
- A ação de uma distribuição
sobre uma função-teste é denotada por . Para temos . - A derivada
de uma distribuição é definida para que a diferenciação passe para a função-teste com um sinal negativo:
Isto generaliza a integração por partes sem termos de contorno, porque funções-teste têm suporte compacto.
- Se
é uma função suave (por exemplo ), então o produto é definido por
Em palavras: multiplicar a distribuição por
é o mesmo que multiplicar a função-teste por
antes de aplicar
.
Passo 3
Agora aplicamos essas definições ao membro esquerdo
.
Seja uma função-teste arbitrária. Queremos calcular
.
Pelo item (iii) (multiplicação por função suave) temos
Seja
Pelo item (iii) (multiplicação por função suave) temos
Aqui usei
e
, então
e
.
Passo 4
Agora uso a definição da derivada de distribuição (item (ii)):
Calculamos a derivada do produto
(regra do produto — isto é cálculo elementar):
Substituindo,
Passo 5
Agora avaliamos
. Pela propriedade da delta:
Portanto
Passo 6
Mas
é exatamente
, pois
. Assim para toda função-teste
temos
Duas distribuições que coincidem em toda função-teste são iguais, logo
no sentido das distribuições. (Intuição rápida: a presença do
anula o termo com
ao avaliar em
, sobrando
.)