(1,0) Considere \mathscr{H} um espaço de Hilbert \mathbf{e} f \in \mathscr{H}. Também seja dado \left\{e_{k}: k \in I\right\} (com I sendo um conjunto de índices) uma sequência ortonormal no espaço de Hilbert. Então \sum_{k \in I}\left|\left\langle f \mid e_{k}\right\rangle\right| \leq|f| (Desigualdade de Bessel).
Considere o espaço de Hilbert \mathscr{R}^{3} e
f=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\begin{array}{l} 1 \\\\ 1 \\\\ 1 \end{array}\right), \quad e_{1}=\left(\begin{array}{l} 1 \\\\ 0 \\\\ 1 \end{array}\right), \quad e_{2}=\left(\begin{array}{c} 1 \\\\ 0 \\\\ -1 \end{array}\right) .
Encontre os lados esquerdo e direito da desigualdade.

Passo 1

O enunciado dá o espaço \mathscr{H}=\mathbb{R}^{3} e os vetores
f=\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad e_{1}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad e_{2}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
Pede-se encontrar os dois lados da desigualdade de Bessel aplicada a essa sequência \{e_k\} e ao vetor f; isto é, calcular explicitamente o membro à esquerda (a soma dos módulos ao quadrado das projeções de f sobre os vetores ortonormais) e o membro à direita (o quadrado da norma de f). Aqui listamos as informações relevantes:
  • Os vetores f,e_{1},e_{2} estão explicitados acima.
  • Devemos usar a forma correta da desigualdade de Bessel (ver passo seguinte).
    A resolução começa no Passo 2.]

Passo 2

Apresentando a desigualdade de Bessel corretamente e o que cada símbolo significa.
A forma correcta da desigualdade de Bessel para uma família ortonormal \{u_k\} em um espaço de Hilbert é
\sum_{k} \left|\left\langle f, u_k\right\rangle\right|^{2} \le \|f\|^{2}.
Explicando os símbolos:
  • \langle x,y\rangle é o produto interno (em \mathbb{R}^{3} é o produto escalar usual).
  • \left|\left\langle f,u_k\right\rangle\right|^{2} é o quadrado do módulo do número complexo (aqui real) \langle f,u_k\rangle.
  • \|f\| é a norma de f, definida por \|f\|=\sqrt{\langle f,f\rangle}.
    Observação importante: a desigualdade exige que a família \{u_k\} seja ortonormal (não apenas ortogonal).

Passo 3

Verificamos se os vetores dados e_{1},e_{2} são ortonormais; se não, normalizamos.
Calcule o produto escalar entre e_{1} e e_{2}:
\langle e_{1},e_{2}\rangle = 1\cdot1 + 0\cdot0 + 1\cdot(-1) = 1+0-1 = 0,
logo são ortogonais. Agora calcule as normas:
\|e_{1}\| = \sqrt{1^{2}+0^{2}+1^{2}}=\sqrt{2},\qquad \|e_{2}\| = \sqrt{1^{2}+0^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{2}.
Portanto e_{1},e_{2} são ortogonais porém não normalizados. Para usar Bessel precisamos de vetores ortonormais; definimos então os vetores normalizados
\tilde e_{1}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad \tilde e_{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]-1\end{pmatrix},
que satisfazem \langle \tilde e_i,\tilde e_j\rangle=\delta_{ij}.]

Passo 4

Calculamos os produtos internos \langle f,\tilde e_{1}\rangle e \langle f,\tilde e_{2}\rangle passo a passo (produto interno em \mathbb{R}^3 é soma dos produtos das coordenadas).
Primeiro \langle f,\tilde e_{1}\rangle:
\langle f,\tilde e_{1}\rangle = \frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}\,(1\cdot1 + 1\cdot0 + 1\cdot1) = \frac{1}{\sqrt{6}}\,(1+0+1) = \frac{2}{\sqrt{6}}.
Agora \langle f,\tilde e_{2}\rangle:
\langle f,\tilde e_{2}\rangle = \frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}\,(1\cdot1 + 1\cdot0 + 1\cdot(-1)) = \frac{1}{\sqrt{6}}\,(1+0-1) = \frac{0}{\sqrt{6}}=0.

Passo 5

Calculamos os quadrados dos módulos (a forma que aparece na soma de Bessel) e somamos.
\left|\langle f,\tilde e_{1}\rangle\right|^{2} = \left(\frac{2}{\sqrt{6}}\right)^{2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}, \qquad \left|\langle f,\tilde e_{2}\rangle\right|^{2} = 0^{2}=0.
Portanto o membro esquerdo da desigualdade (a soma sobre os índices k) é
\sum_{k=1}^{2} \left|\langle f,\tilde e_{k}\rangle\right|^{2} = \frac{2}{3} + 0 = \frac{2}{3}.

Passo 6

Calculamos o membro direito: o quadrado da norma de f.
\|f\|^{2} = \langle f,f\rangle = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2}(1^{2}+1^{2}+1^{2}) = \frac{1}{3}\cdot 3 = 1.

Passo 7

Confrontamos os valores obtidos: o lado esquerdo é \tfrac{2}{3} e o lado direito é 1. Assim a desigualdade de Bessel verifica-se:
\frac{2}{3} \le 1.

Resposta

Esquerdo: \displaystyle \sum_{k} \left|\langle f,e_{k}\rangle\right|^{2}=\tfrac{2}{3}
Direito: \displaystyle \|f\|^{2}=1

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