(1,0) Considere \mathscr{H} um espaço de Hilbert \mathbf{e} f \in \mathscr{H}. Também seja dado \left\{e_{k}: k \in I\right\} (com I sendo um conjunto de índices) uma sequência ortonormal no espaço de Hilbert. Então \sum_{k \in I}\left|\left\langle f \mid e_{k}\right\rangle\right| \leq|f| (Desigualdade de Bessel).
Pede-se encontrar os dois lados da desigualdade de Bessel aplicada a essa sequência \{e_k\} e ao vetor f; isto é, calcular explicitamente o membro à esquerda (a soma dos módulos ao quadrado das projeções de f sobre os vetores ortonormais) e o membro à direita (o quadrado da norma de f). Aqui listamos as informações relevantes:
Os vetores f,e_{1},e_{2} estão explicitados acima.
Devemos usar a forma correta da desigualdade de Bessel (ver passo seguinte).
A resolução começa no Passo 2.]
Passo 2
Apresentando a desigualdade de Bessel corretamente e o que cada símbolo significa.
A forma correcta da desigualdade de Bessel para uma família ortonormal \{u_k\} em um espaço de Hilbert é
\langle x,y\rangle é o produto interno (em \mathbb{R}^{3} é o produto escalar usual).
\left|\left\langle f,u_k\right\rangle\right|^{2} é o quadrado do módulo do número complexo (aqui real) \langle f,u_k\rangle.
\|f\| é a norma de f, definida por \|f\|=\sqrt{\langle f,f\rangle}.
Observação importante: a desigualdade exige que a família \{u_k\} seja ortonormal (não apenas ortogonal).
Passo 3
Verificamos se os vetores dados e_{1},e_{2} são ortonormais; se não, normalizamos.
Portanto e_{1},e_{2} são ortogonais porém não normalizados. Para usar Bessel precisamos de vetores ortonormais; definimos então os vetores normalizados
que satisfazem \langle \tilde e_i,\tilde e_j\rangle=\delta_{ij}.]
Passo 4
Calculamos os produtos internos \langle f,\tilde e_{1}\rangle e \langle f,\tilde e_{2}\rangle passo a passo (produto interno em \mathbb{R}^3 é soma dos produtos das coordenadas).