5^{\circ} ) QUESITO: Dado o vetor velocidade :
\hat{V}=(0,5+0,8 x) \hat{\imath}+(1,5-0,8 y) \hat{\jmath}
a) Determine o vetor da aceleração total;
b) Avalie a aceleração em (x, z, z)=(2,3,0)
c) Determine o módulo da aceleração em (2,3,0)

Passo 1

Enunciado e o que é pedido:\n
Dado o vetor velocidade \hat{V}=(0,5+0,8x)\,\hat{\imath}+(1,5-0,8y)\,\hat{\jmath}.\n
Perguntas:\n
(a) Determine o vetor da aceleração total.\n
(b) Avalie a aceleração em (x,y,z)=(2,3,0). (Interpretei (x,z,z) do enunciado como (x,y,z).)\n
(c) Determine o módulo da aceleração em (2,3,0).\n
Informações relevantes dadas: componentes da velocidade dependem só de x e y; não há dependência explícita do tempo nem componente em \hat{k}.

Passo 2

Conceito necessário (explicado devagar):\n
O vetor aceleração total de um campo de velocidade é o chamado derivada material (ou convectiva):
\mathbf{a}=\frac{D\mathbf{V}}{Dt}=\frac{\partial\mathbf{V}}{\partial t}+(\mathbf{V}\cdot\nabla)\mathbf{V}.
O que cada termo significa:\n
  • \displaystyle\frac{\partial\mathbf{V}}{\partial t} é a variação local da velocidade no tempo, mantendo a posição fixa.\n
  • (\mathbf{V}\cdot\nabla)\mathbf{V} é o efeito convectivo: como a velocidade muda quando um fluido (ou partícula) se desloca no campo. Aqui \nabla é o operador gradiente \left(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}\right).\n
    Como o campo dado não depende do tempo explicitamente, \displaystyle\frac{\partial\mathbf{V}}{\partial t}=\mathbf{0}. Portanto
\mathbf{a}=(\mathbf{V}\cdot\nabla)\mathbf{V}.

Passo 3

Expressar componentes e a fórmula componente a componente:\n
Se \mathbf{V}=(V_x,V_y,V_z), então
(\mathbf{V}\cdot\nabla)V_x=V_x\frac{\partial V_x}{\partial x}+V_y\frac{\partial V_x}{\partial y}+V_z\frac{\partial V_x}{\partial z},
e análogamente para V_y e V_z. No nosso caso V_z=0 e V_x,V_y só dependem de x,y. Então
a_x=V_x\frac{\partial V_x}{\partial x}+V_y\frac{\partial V_x}{\partial y}, \qquad a_y=V_x\frac{\partial V_y}{\partial x}+V_y\frac{\partial V_y}{\partial y}, \qquad a_z=0.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais necessárias:\n
Temos \displaystyle V_x(x,y)=0,5+0,8x e \displaystyle V_y(x,y)=1,5-0,8y.\n
Derivadas:\n
\frac{\partial V_x}{\partial x}=0,8,\qquad \frac{\partial V_x}{\partial y}=0,
\frac{\partial V_y}{\partial x}=0,\qquad \frac{\partial V_y}{\partial y}=-0,8.

Passo 5

Montar as componentes da aceleração usando as derivadas:\n
Usando a_x=V_x\frac{\partial V_x}{\partial x}+V_y\frac{\partial V_x}{\partial y} obtemos
a_x=V_x\cdot 0,8 + V_y\cdot 0 = 0,8\,V_x.
Usando a_y=V_x\frac{\partial V_y}{\partial x}+V_y\frac{\partial V_y}{\partial y} obtemos
a_y=V_x\cdot 0 + V_y\cdot(-0,8) = -0,8\,V_y.
E a_z=0.\n
Agora substituímos V_x e V_y:
a_x=0,8\,(0,5+0,8x)=0,8\cdot 0,5 + 0,8\cdot 0,8x = 0,4 + 0,64x,
a_y=-0,8\,(1,5-0,8y)=-0,8\cdot 1,5 + 0,8\cdot 0,8y = -1,2 + 0,64y.
Portanto o vetor aceleração geral é
\mathbf{a}=(0,4+0,64x)\,\hat{\imath}+(-1,2+0,64y)\,\hat{\jmath}+0\,\hat{k}.

Passo 6

Avaliar a aceleração em (x,y,z)=(2,3,0):\n
Substituindo x=2 e y=3:
a_x=0,4+0,64\cdot 2 = 0,4 + 1,28 = 1,68,
a_y=-1,2+0,64\cdot 3 = -1,2 + 1,92 = 0,72,
a_z=0.
Logo
\mathbf{a}(2,3,0)=1,68\,\hat{\imath}+0,72\,\hat{\jmath}+0\,\hat{k}.

Passo 7

Calcular o módulo da aceleração em (2,3,0):\n
Fórmula do módulo em 3D:
\|\mathbf{a}\|=\sqrt{a_x^{2}+a_y^{2}+a_z^{2}}.
Substituindo os valores:
\|\mathbf{a}\|=\sqrt{(1,68)^{2}+(0,72)^{2}+0^{2}}=\sqrt{2,8224+0,5184}=\sqrt{3,3408}\approx 1,8278.
Arredondando razoavelmente, \|\mathbf{a}\|\approx 1,828.

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf{a}=(0,4+0,64x)\,\hat{\imath}+(-1,2+0,64y)\,\hat{\jmath}+0\,\hat{k}.\n
(b) \displaystyle \mathbf{a}(2,3,0)=1,68\,\hat{\imath}+0,72\,\hat{\jmath}+0\,\hat{k}.\n
(c) \displaystyle \|\mathbf{a}(2,3,0)\|\approx 1,828.

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