) QUESITO: Dado o vetor velocidade :
a) Determine o vetor da aceleração total;
b) Avalie a aceleração em
c) Determine o módulo da aceleração em
a) Determine o vetor da aceleração total;
b) Avalie a aceleração em
c) Determine o módulo da aceleração em
Passo 1
Enunciado e o que é pedido:\n
Dado o vetor velocidade .\n
Perguntas:\n
(a) Determine o vetor da aceleração total.\n
(b) Avalie a aceleração em . (Interpretei
do enunciado como
.)\n
(c) Determine o módulo da aceleração em .\n
Informações relevantes dadas: componentes da velocidade dependem só de e
; não há dependência explícita do tempo nem componente em
.
Dado o vetor velocidade
Perguntas:\n
(a) Determine o vetor da aceleração total.\n
(b) Avalie a aceleração em
(c) Determine o módulo da aceleração em
Informações relevantes dadas: componentes da velocidade dependem só de
Passo 2
Conceito necessário (explicado devagar):\n
O vetor aceleração total de um campo de velocidade é o chamado derivada material (ou convectiva):
O vetor aceleração total de um campo de velocidade é o chamado derivada material (ou convectiva):
O que cada termo significa:\n
-
é a variação local da velocidade no tempo, mantendo a posição fixa.\n -
é o efeito convectivo: como a velocidade muda quando um fluido (ou partícula) se desloca no campo. Aqui é o operador gradiente .\n
Como o campo dado não depende do tempo explicitamente,. Portanto
Passo 3
Expressar componentes e a fórmula componente a componente:\n
Se , então
Se
e análogamente para
e
. No nosso caso
e
só dependem de
. Então
Passo 4
Calcular as derivadas parciais necessárias:\n
Temos e
.\n
Derivadas:\n
Temos
Derivadas:\n
Passo 5
Montar as componentes da aceleração usando as derivadas:\n
Usando obtemos
Usando
Usando
obtemos
E
.\n
Agora substituímos e
:
Agora substituímos
Portanto o vetor aceleração geral é
Passo 6
Avaliar a aceleração em
:\n
Substituindo e
:
Substituindo
Logo
Passo 7
Calcular o módulo da aceleração em
:\n
Fórmula do módulo em 3D:
Fórmula do módulo em 3D:
Substituindo os valores:
Arredondando razoavelmente,
.
Resposta
(a)
\n
(b) \n
(c)
(b)
(c)