Água escoa em regime permanente através de um bocal horizontal, descarregando para a atmosfera. Na entrada do bocal, o diâmetro é
; na saída,
. Deduza uma expressão para a pressão manométrica mínima necessária na entrada do bocal para produzir uma vazão volumétrica
. Avalie a pressão manométrica de entrada se
30 mm , e a vazão desejada for
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só:
-
Informações dadas:
- Regime permanente e escoamento incompressível (água).
- Bocal horizontal, descarga para a atmosfera (na saída a pressão é atmosférica).
- Diâmetro na entrada:
. - Diâmetro na saída:
. - Vazão volumétrica desejada:
. - Valores numéricos para avaliar no final:
, , .
-
O que o enunciado pede:
- Deduzir uma expressão para a pressão manométrica mínima necessária na entrada do bocal para produzir a vazão
. - Avaliar numericamente essa pressão manométrica para os valores fornecidos.
- Deduzir uma expressão para a pressão manométrica mínima necessária na entrada do bocal para produzir a vazão
Passo 2
Conservação de massa (equação da continuidade) para escoamento incompressível e regime permanente:
onde
-
é a vazão volumétrica ( ); -
é a área da seção transversal ( ); -
é a velocidade média na seção ( ).
Para uma seção circular de diâmetro
,
Aplicando na entrada e na saída:
com
Explicação curta: a continuidade só diz que o volume por segundo que entra é igual ao que sai; se a área diminui a velocidade aumenta e vice‑versa. Esse passo é obrigatório para relacionar
com as velocidades necessárias.
Passo 3
Conservação de energia entre duas seções (Teorema de Bernoulli) para escoamento estacionário, ideal (ou desprezando perdas por atrito e choques) ao longo da linha de corrente que liga a entrada do bocal à saída (logo fora do bocal, onde o jato está à pressão atmosférica):
A forma simples (sem perdas) do teorema de Bernoulli, para duas seções com mesma elevação (bocal horizontal), é
onde
-
é a pressão absoluta na entrada ( ), -
é a pressão absoluta na saída ( ), -
é a densidade do fluido ( ), -
velocidades médias nas seções 1 e 2.
No nosso caso a saída descarrega para a atmosfera, então a pressão absoluta na saída é a pressão atmosférica
. Como queremos a pressão manométrica mínima na entrada, definimos a pressão manométrica na entrada como
. Subtraindo
de ambos os lados e usando
, obtemos
Comentário didático: isso diz que a pressão acima da atmosfera necessária na entrada tem que fornecer a diferença de energia cinética por unidade de volume entre saída e entrada. É “mínima” porque supomos que não há perdas – na prática, se houvesse atrito, seria necessária uma pressão maior.
Passo 4
Substituímos as expressões de velocidade em função de
e das áreas:
Como
, temos
Usando
podemos reescrever em função dos diâmetros. Observando que
temos a forma conveniente
Resumo da fórmula final (expressão pedida):
Explicação prática: essa expressão dá a pressão manométrica mínima necessária na entrada para que a velocidade no bocal menor (entrada maior) se acelere até a velocidade do jato (saída menor), mantendo a vazão
.
Passo 5
Agora vamos avaliar numericamente com os dados fornecidos. Tomamos a densidade da água como
. Converter os diâmetros para metros:
Usando a forma
:
Calculemos
e
:
Recíprocos:
Diferença:
Coeficiente multiplicador:
Logo a pressão manométrica:
Convertendo para bar (
):
Interpretação curta e incentivo: esse é o valor mínimo em teoria (sem perdas). Na prática, por atrito e entradas/restrições reais, exigiria um pouco mais. Mas o resultado já te dá a ordem de grandeza — é alto, então atenção na prova se aparecer algo parecido!