Água escoa em regime permanente através de um bocal horizontal, descarregando para a atmosfera. Na entrada do bocal, o diâmetro é D_{1}; na saída, D_{2}. Deduza uma expressão para a pressão manométrica mínima necessária na entrada do bocal para produzir uma vazão volumétrica Q. Avalie a pressão manométrica de entrada se D_{1}=90 \mathrm{~mm}, D_{2}= 30 mm , e a vazão desejada for 0,03 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só:
  • Informações dadas:
    • Regime permanente e escoamento incompressível (água).
    • Bocal horizontal, descarga para a atmosfera (na saída a pressão é atmosférica).
    • Diâmetro na entrada: D_{1}.
    • Diâmetro na saída: D_{2}.
    • Vazão volumétrica desejada: Q.
    • Valores numéricos para avaliar no final: D_{1}=90\\ \mathrm{mm}, D_{2}=30\\ \mathrm{mm}, Q=0,03\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}.
  • O que o enunciado pede:
    • Deduzir uma expressão para a pressão manométrica mínima necessária na entrada do bocal para produzir a vazão Q.
    • Avaliar numericamente essa pressão manométrica para os valores fornecidos.

Passo 2

Conservação de massa (equação da continuidade) para escoamento incompressível e regime permanente:
Q = A\,v
onde
  • Q é a vazão volumétrica ( \mathrm{m^{3}/s});
  • A é a área da seção transversal ( \mathrm{m^{2}\!});
  • v é a velocidade média na seção ( \mathrm{m/s}).
Para uma seção circular de diâmetro D,
A = \frac{\pi D^{2}}{4}.
Aplicando na entrada e na saída:
v_{1}=\frac{Q}{A_{1}},\qquad v_{2}=\frac{Q}{A_{2}},
com
A_{1}=\frac{\pi D_{1}^{2}}{4},\qquad A_{2}=\frac{\pi D_{2}^{2}}{4}.
Explicação curta: a continuidade só diz que o volume por segundo que entra é igual ao que sai; se a área diminui a velocidade aumenta e vice‑versa. Esse passo é obrigatório para relacionar Q com as velocidades necessárias.

Passo 3

Conservação de energia entre duas seções (Teorema de Bernoulli) para escoamento estacionário, ideal (ou desprezando perdas por atrito e choques) ao longo da linha de corrente que liga a entrada do bocal à saída (logo fora do bocal, onde o jato está à pressão atmosférica):
A forma simples (sem perdas) do teorema de Bernoulli, para duas seções com mesma elevação (bocal horizontal), é
p_{1}+\tfrac{1}{2}\rho v_{1}^{2}=p_{2}+\tfrac{1}{2}\rho v_{2}^{2},
onde
  • p_{1} é a pressão absoluta na entrada ( \mathrm{Pa}),
  • p_{2} é a pressão absoluta na saída ( \mathrm{Pa}),
  • \rho é a densidade do fluido ( \mathrm{kg/m^{3}}),
  • v_{1},v_{2} velocidades médias nas seções 1 e 2.
No nosso caso a saída descarrega para a atmosfera, então a pressão absoluta na saída é a pressão atmosférica p_{\text{atm}}. Como queremos a pressão manométrica mínima na entrada, definimos a pressão manométrica na entrada como p_{1,\text{man}}=p_{1}-p_{\text{atm}}. Subtraindo p_{\text{atm}} de ambos os lados e usando p_{2}-p_{\text{atm}}=0, obtemos
p_{1,\text{man}}=\tfrac{1}{2}\rho\bigl(v_{2}^{2}-v_{1}^{2}\bigr).
Comentário didático: isso diz que a pressão acima da atmosfera necessária na entrada tem que fornecer a diferença de energia cinética por unidade de volume entre saída e entrada. É “mínima” porque supomos que não há perdas – na prática, se houvesse atrito, seria necessária uma pressão maior.

Passo 4

Substituímos as expressões de velocidade em função de Q e das áreas:
Como v_{i}=Q/A_{i}, temos
p_{1,\text{man}}=\tfrac{1}{2}\rho\left(\frac{Q^{2}}{A_{2}^{2}}-\frac{Q^{2}}{A_{1}^{2}}\right) =\tfrac{1}{2}\rho Q^{2}\left(\frac{1}{A_{2}^{2}}-\frac{1}{A_{1}^{2}}\right).
Usando A_{i}=\dfrac{\pi D_{i}^{2}}{4} podemos reescrever em função dos diâmetros. Observando que
\frac{1}{A_{i}^{2}}=\frac{1}{\left(\dfrac{\pi D_{i}^{2}}{4}\right)^{2}}=\frac{16}{\pi^{2}D_{i}^{4}},
temos a forma conveniente
p_{1,\text{man}}=\frac{1}{2}\rho Q^{2}\left(\frac{16}{\pi^{2}D_{2}^{4}}-\frac{16}{\pi^{2}D_{1}^{4}}\right) =\frac{8\rho Q^{2}}{\pi^{2}}\left(\frac{1}{D_{2}^{4}}-\frac{1}{D_{1}^{4}}\right).
Resumo da fórmula final (expressão pedida):
\boxed{\,p_{1,\text{man}}=\tfrac{1}{2}\rho Q^{2}\Bigl(\dfrac{1}{A_{2}^{2}}-\dfrac{1}{A_{1}^{2}}\Bigr) =\dfrac{8\rho Q^{2}}{\pi^{2}}\Bigl(\dfrac{1}{D_{2}^{4}}-\dfrac{1}{D_{1}^{4}}\Bigr)\,}
Explicação prática: essa expressão dá a pressão manométrica mínima necessária na entrada para que a velocidade no bocal menor (entrada maior) se acelere até a velocidade do jato (saída menor), mantendo a vazão Q.

Passo 5

Agora vamos avaliar numericamente com os dados fornecidos. Tomamos a densidade da água como \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}. Converter os diâmetros para metros:
D_{1}=90\\ \mathrm{mm}=0{,}09\\ \mathrm{m},\qquad D_{2}=30\\ \mathrm{mm}=0{,}03\\ \mathrm{m}, \qquad Q=0{,}03\\ \mathrm{m^{3}/s}.
Usando a forma \displaystyle p_{1,\text{man}}=\frac{8\rho Q^{2}}{\pi^{2}}\left(\frac{1}{D_{2}^{4}}-\frac{1}{D_{1}^{4}}\right):
Calculemos D_{2}^{4} e D_{1}^{4}:
D_{2}^{4}=(0{,}03)^{4}=0{,}00000081,\qquad D_{1}^{4}=(0{,}09)^{4}=0{,}00006561.
Recíprocos:
\frac{1}{D_{2}^{4}}\approx 1{,}2345679\times10^{6},\qquad \frac{1}{D_{1}^{4}}\approx 1{,}5246914\times10^{4}.
Diferença:
\frac{1}{D_{2}^{4}}-\frac{1}{D_{1}^{4}}\approx 1{,}21932099\times10^{6}.
Coeficiente multiplicador:
\frac{8\rho Q^{2}}{\pi^{2}}=\frac{8\cdot 1000\cdot (0{,}03)^{2}}{\pi^{2}} =\frac{8\cdot1000\cdot0{,}0009}{\pi^{2}}\approx 0{,}729754.
Logo a pressão manométrica:
p_{1,\text{man}}\approx 0{,}729754\times 1{,}21932099\times10^{6}\\ \mathrm{Pa} \approx 8{,}88897\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
Convertendo para bar ( 1\\ \text{bar}=10^{5}\\ \mathrm{Pa}):
p_{1,\text{man}}\approx 8{,}89\\ \text{bar}.
Interpretação curta e incentivo: esse é o valor mínimo em teoria (sem perdas). Na prática, por atrito e entradas/restrições reais, exigiria um pouco mais. Mas o resultado já te dá a ordem de grandeza — é alto, então atenção na prova se aparecer algo parecido!

Resposta

p_{1,\text{man}}\approx 8{,}89\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}\\ (\approx 8{,}89\\ \text{bar})

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