1^circ ) Questão. (60,0 ptos, onde a ), b ), c ), d ), e ), f), g) valem 8,6 ptos cada).
Encontre um fator integrante para a edo (2 y sec ^2(x)+cos (x)) d x+tg(x) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar um fator integrante para a EDO
(2ysec^2(x)+cos(x)),dx+tan(x),dy=0
O conteúdo é teste de exatidão de EDOs de primeira ordem e construção de fator integrante.

Passo 2

Identificamos
M(x,y)=2ysec^2(x)+cos(x), N(x,y)=tan(x)
Calculamos
partial Mpartial y=2sec^2(x), partial Npartial x=sec^2(x)
Como partial M/partial yneqpartial N/partial x, a EDO não é exata. Para ver se há fator integrante em função de x só, verificamos
partial Mpartial y-partial Npartial xN =2sec^2(x)-sec^2(x)tan(x) =sec^2(x)tan(x) =1sin(x)cos(x),
que depende apenas de x.

Passo 3

O fator integrante em função de x é
mu(x)=expl(integral 1sin(x)cos(x),dxr)
Como
integral 1sin(x)cos(x),dx =integral sec^2(x)tan(x),dx =lnl(tan(x)r),
segue
mu(x)=e^ln(tan(x))=tan(x)

Resposta

mu(x)=tan(x)

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