[G3, G4] Encontre o valores de a, b, c e d, de tal forma que a função:
f(x)=a x^3+b x^2+c x+d
tenha um mínimo relativo em (0,0) e um máximo relativo em (1,1).

Passo 1

Temos a função
f(x)=a x^3+b x^2+c x+d
e queremos que ela tenha um mínimo relativo em (0,0) e um máximo relativo em (1,1). Isso equivale a impor as condições
  1. f(0)=0 e f'(0)=0 (estacionaridade e valor em 0),
  2. f(1)=1 e f'(1)=0 (estacionaridade e valor em 1),
    além de verificar depois o sinal de f'' para garantir mínimo em 0 e máximo em 1.

Passo 2

Calculemos em x=0:
f(0)=d=0,
f'(x)=3a x^2+2b x+cLongrightarrow f'(0)=c=0
Logo
d=0, c=0

Passo 3

Calculemos agora em x=1:
f(1)=a+b+c+d=a+b=1,
f'(1)=3a+2b+c=3a+2b=0
Portanto obtemos o sistema
a+b=1, 3a+2b=0

Passo 4

Resolvendo o sistema, da segunda equação vem
2b=-3aLongrightarrow b=-3a2
Substituindo em a+b=1:
a - 3a2=1Longrightarrow -a2=1Longrightarrow a=-2,
b=-3(-2)2=3
Logo
a=-2, b=3, c=0, d=0

Passo 5

Verificamos o sinal da segunda derivada:
f''(x)=6a x+2b=-12x+6,
f''(0)=6>0 (mínimo), f''(1)=-6<0 (máximo) íá

Resposta

a=-2, b=3, c=0, d=0.

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