3^{\circ} Questão (2,5)
O magnésio é mais leve do que outros materiais estruturais, portanto ele é cada vez mais importante no desenvolvimento de veículos mais eficientes. Os íons \mathrm{Mg}^{2+} estão presentes na água do mar, e o metal é geralmente preparado pela “coleta” desse íon e por sua conversão em Mg metálico. O teor médio de magnésio dos oceanos é de aproximadamente 1270 g de \mathrm{Mg}^{2+} por tonelada de água do mar, e a densidade da água do mar é aproximadamente 1,03 \mathrm{~g} \mathrm{~mL}^{-1}.
b) Sabendo que, o projeto para um carro-conceito precisa de 103 Kg de magnésio por veículo. Quantos litros de água do mar seriam necessários para fornecer magnésio suficiente para construir esse carro?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (vou listar tudo que é relevante para a conta):
  • Teor médio de magnésio na água do mar: \,1270\\ \text{g de }\mathrm{Mg}^{2+} por tonelada de água do mar.
  • Densidade da água do mar: \,1{,}03\\ \text{g}\,\text{mL}^{-1}.
  • Necessidade de magnésio para o projeto: \,103\\ \text{kg} de magnésio por veículo.
O que o problema pede:
  • Calcular quantos litros de água do mar são necessários para fornecer \,103\\ \text{kg} de magnésio.
Observação necessária (assunção usada): assumir rendimento de recuperação de magnésio igual a 100\% (isto é, todo \mathrm{Mg}^{2+} disponível é convertido em magnésio metálico necessário). Sem essa suposição não dá para continuar, então vou usá-la.

Passo 2

Converter todas as quantidades para unidades compatíveis e entender a razão de composição.
Primeiro, transformar a massa de magnésio requerida para gramas:
m_{\mathrm{Mg}} = 103\\ \text{kg} = 103\,000\\ \text{g}.
O enunciado diz que em uma tonelada (isto é, 1\\ \text{t}=1\,000\\ \text{kg}=1\,000\,000\\ \text{g}) de água do mar há 1270\\ \text{g} de \mathrm{Mg}^{2+}. Então a fração em massa (concentração por massa) de magnésio é
c = \frac{1270\\ \text{g Mg}}{1\,000\,000\\ \text{g água\\ do\\ mar}}.á
Essa fração indica que, para cada grama de magnésio, precisa-se de \dfrac{1\,000\,000}{1270} gramas de água do mar.
Portanto a massa de água do mar necessária é
m_{\text{água}} \;=\; m_{\mathrm{Mg}}\cdot\frac{1\,000\,000}{1270}.á

Passo 3

Calcular a massa de água do mar exigida substituindo os números:
m_{\text{água}} \;=\; 103\,000\cdot\frac{1\,000\,000}{1270} \;=\; 103\,000\cdot 787{,}4015748\ldots \;=\; 81\,102\,362{,}2047\\ \text{g}.á
Para ficar em unidades mais usuais:
m_{\text{água}} = 81\,102\,362{,}2\\ \text{g} = 81\,102{,}362\\ \text{kg} \approx 81{,}102\\ \text{t}.á
(ou seja, cerca de 81{,}1 toneladas de água do mar).

Passo 4

Agora convertemos essa massa em volume usando a densidade. A relação entre massa, densidade e volume é:
\text{densidade} = \frac{\text{massa}}{\text{volume}} \quad\Longrightarrow\quad \text{volume} = \frac{\text{massa}}{\text{densidade}}.
A densidade dada é \,1{,}03\\ \text{g}\,\text{mL}^{-1}. Vou calcular o volume em litros; como 1\\ \text{L}=1000\\ \text{mL}, podemos fazer:
V_{\text{L}} = \frac{m_{\text{água}}\\ (\text{g})}{\text{densidade}\\ (\text{g}\,\text{mL}^{-1})\times 1000\\ \text{mL/L}}.á
Substituindo os valores:
V_{\text{L}} = \frac{81\,102\,362{,}2047}{1{,}03\times 1000} = \frac{81\,102\,362{,}2047}{1030} \approx 78\,751{,}3\\ \text{L}.

Passo 5

Interpretação e arredondamento final: com os dados fornecidos (3 algarismos nos dados), faz sentido reportar a resposta com aproximadamente três algarismos significativos. Assim:
V \approx 7{,}88\times10^{4}\\ \text{L}.
Em unidades mais físicas, isso é cerca de 78{,}8 metros cúbicos ( 1\\ \text{m}^3 = 1000\\ \text{L}), ou seja, aproximadamente 78{,}8\\ \text{m}^3 de água do mar.

Resposta

7{,}88\times10^{4}\\ \text{L}

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