3{ }^{\circ} QUESTÃO

Observamos diariamente que objetos quentes esfriam até a temperatura do meio ambiente. Se a diferença de temperatura \Delta \mathrm{T} entre um objeto e sua vizinhança ( \Delta \mathrm{T}=\mathrm{T}_{\text {obj }}- Tviz) não for muito grande, a taxa de resfriamento do objeto será proporcional, aproximadamente, à diferença de temperatura, isto é,
\frac{\mathrm{d} \Delta \mathrm{~T}}{\mathrm{dt}}=-\mathrm{A}(\Delta \mathrm{~T})
onde A é uma constante. O sinal negativo aparece porque \Delta \mathrm{T} decrescerá com o tempo se \Delta \mathrm{T} for positivo. Isto é conhecido como Lei de Newton do Resfriamento. Se, no instante \mathrm{t}=0, a diferença de temperatura é \Delta \mathrm{T} 0, integrando a equação acima podemos mostrar que
\Delta \mathrm{T}=\Delta \mathrm{T}_{0} \exp (-\mathrm{At})
num tempo posterior.
Aplique a lei de Newton do resfriamento como hipótese para analisar o seguinte experimento: Um termômetro de vidro com mercúrio é colocado em água fervente por alguns minutos e depois retirado. A temperatura é observada várias vezes após o termômetro ter sido removido e está indicada na tabela.
\mathrm{t}(\mathrm{s}) \mathrm{T}\left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right) \mathrm{t}(\mathrm{s}) \mathrm{T}\left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right)
0 98,4 100 50,3
5 76,1 150 43,7
10 71,1 200 38,8
15 67,7 300 32,7
20 66,4 500 27,8
25 65,1 700 26,5
30 63,9 1000 26,1
40 61,6 1400 26,0
50 59,4 2000 26,0
70 55,4 3000 26,0
(a) Faça um gráfico de \Delta \mathrm{T} como função do tempo.
(b) A forma do gráfico sugere que a relação entre as variáveis \Delta \mathrm{T} e t é do tipo exponencial?
(c) Qual a escala apropriada para linearizar o gráfico de \Delta T=f(t) ? Trace o gráfico nesta escala.
(d) Até onde você justifica a aplicação da Lei de Newton do resfriamento neste caso?
(e) Determine o valor e a dimensão da constante A.

Passo 1

O enunciado nos diz que, segundo a Lei de Newton do Resfriamento, a diferença de temperatura \Delta T(t)=T_{\rm obj}(t)-T_{\rm viz} satisfaz
\frac{d\Delta T}{dt}=-A\,\Delta T
e portanto
\Delta T(t)=\Delta T_0\exp(-A\,t).
No experimento um termômetro sai de água fervente e vai para o ar, e medimos T(t) até quase o equilíbrio com a temperatura ambiente. Queremos:
(a) o gráfico de \Delta T vs.\ t,
(b) dizer se isso parece exponencial,
(c) encontrar a escala que lineariza e traçar o gráfico nela,
(d) discutir até onde a lei vale,
(e) extrair A e sua unidade.

Passo 2

Primeiro identificamos T_{\rm viz} como o valor que T(t) tende quando t\to\infty. Pelos dados, fica claro que T(t)\approx26{,}0\,^\circ\mathrm{C}. Logo montamos a tabela de \Delta T=T(t)-26:
\begin{array}{c|c|c} t\\ (\mathrm s)&T\\ (^\circ\mathrm C)&\Delta T\\ (^\circ\mathrm C)\\hline 0&98{,}4&72{,}4\\\\ 50&59{,}4&33{,}4\\\\ 100&50{,}3&24{,}3\\\\ 150&43{,}7&17{,}7\\\\ 200&38{,}8&12{,}8\\\\ 300&32{,}7&6{,}7\\\\ 500&27{,}8&1{,}8\\\\ 700&26{,}5&0{,}5\\\\ 1000,\,1400,\,2000,\,3000&26{,}1,\,26{,}0,\,26{,}0,\,26{,}0&0{,}1,\,0,\,0,\,0 \end{array}

Passo 3

(a) Ao traçar \Delta T no eixo vertical contra t no horizontal obtemos uma curva que decai rápido no início e depois vai nivelando perto de zero.
(b) Essa forma de decaimento rapido seguido de “achatamento” caracteriza bem uma lei do tipo \Delta T\propto e^{-At}, ou seja, exponencial.

Passo 4

(c) Para linearizar
\Delta T(t)=\Delta T_0\exp(-A\,t) \quad\Longrightarrow\quad \ln\bigl(\Delta T(t)\bigr)=\ln(\Delta T_0)-A\,t.
Assim basta usar escala semilogarítmica vertical (ou seja, traçar \ln(\Delta T) vs.\ t). Abaixo a tabela de \ln(\Delta T) para os valores usados na reta principal:
\begin{array}{c|c} t\\ (\mathrm s)&\ln\bigl(\Delta T\bigr)\\hline 0&\ln(72{,}4)\approx4,28\\\\ 50&\ln(33{,}4)\approx3,51\\\\ 100&\ln(24{,}3)\approx3,19\\\\ 150&\ln(17{,}7)\approx2,87\\\\ 200&\ln(12{,}8)\approx2,55\\\\ 300&\ln(6{,}7)\approx1,90\\\\ 500&\ln(1{,}8)\approx0,59 \end{array}
No gráfico \ln(\Delta T) vs.\ t esses pontos caem praticamente sobre uma reta de coeficiente angular -A.

Passo 5

(d) A Lei de Newton do Resfriamento vale enquanto o mecanismo de troca térmica for dominado por convecção linear e o coeficiente A permanecer constante. Na prática, isso dá um bom ajuste até \Delta T ainda alguns graus acima de zero (digamos \Delta T\gtrsim1\,^\circ\mathrm C, isto é, até cerca de t\approx700 s). Depois disso o sinal de ruído e erros de medição quando \Delta T é muito pequeno faz o modelo perder precisão.

Passo 6

(e) Extraindo o coeficiente angular da reta de \ln(\Delta T) vs.\ t (por exemplo pelo método dos mínimos quadrados ou ajustando dois pontos extremos), obtemos algo como
\mathrm{slope}=-A\approx-7{,}4\times10^{-3}\quad(\mathrm s^{-1}).
Logo
A\approx7{,}4\times10^{-3}\,\mathrm s^{-1}.

Resposta

(a) Gráfico de \Delta T vs.\ t: curva decrescente rápida que vai se achatando perto de zero.
(b) Sim, a forma é compatível com decaimento exponencial.
(c) Escala semilogarítmica em \Delta T, ou seja, plotar \ln(\Delta T) vs.\ t; nesse gráfico obtém-se uma reta.
(d) O modelo vale bem enquanto \Delta T\gtrsim1\,^\circ\mathrm C (até t\approx700 s), depois o erro de medida domina.
(e) A\approx7{,}4\times10^{-3}\\ \mathrm s^{-1}.

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