QUESTÃO
Observamos diariamente que objetos quentes esfriam até a temperatura do meio ambiente. Se a diferença de temperatura
entre um objeto e sua vizinhança (
Tviz) não for muito grande, a taxa de resfriamento do objeto será proporcional, aproximadamente, à diferença de temperatura, isto é,
onde A é uma constante. O sinal negativo aparece porque
decrescerá com o tempo se
for positivo. Isto é conhecido como Lei de Newton do Resfriamento. Se, no instante
, a diferença de temperatura é
, integrando a equação acima podemos mostrar que
num tempo posterior.
Aplique a lei de Newton do resfriamento como hipótese para analisar o seguinte experimento: Um termômetro de vidro com mercúrio é colocado em água fervente por alguns minutos e depois retirado. A temperatura é observada várias vezes após o termômetro ter sido removido e está indicada na tabela.
0
98,4
100
50,3
5
76,1
150
43,7
10
71,1
200
38,8
15
67,7
300
32,7
20
66,4
500
27,8
25
65,1
700
26,5
30
63,9
1000
26,1
40
61,6
1400
26,0
50
59,4
2000
26,0
70
55,4
3000
26,0
(a) Faça um gráfico de
como função do tempo.
(b) A forma do gráfico sugere que a relação entre as variáveis
e t é do tipo exponencial?
(c) Qual a escala apropriada para linearizar o gráfico de
? Trace o gráfico nesta escala.
(d) Até onde você justifica a aplicação da Lei de Newton do resfriamento neste caso?
(e) Determine o valor e a dimensão da constante A.
Aplique a lei de Newton do resfriamento como hipótese para analisar o seguinte experimento: Um termômetro de vidro com mercúrio é colocado em água fervente por alguns minutos e depois retirado. A temperatura é observada várias vezes após o termômetro ter sido removido e está indicada na tabela.
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0 | 98,4 | 100 | 50,3 | |
5 | 76,1 | 150 | 43,7 | |
10 | 71,1 | 200 | 38,8 | |
15 | 67,7 | 300 | 32,7 | |
20 | 66,4 | 500 | 27,8 | |
25 | 65,1 | 700 | 26,5 | |
30 | 63,9 | 1000 | 26,1 | |
40 | 61,6 | 1400 | 26,0 | |
50 | 59,4 | 2000 | 26,0 | |
70 | 55,4 | 3000 | 26,0 |
(b) A forma do gráfico sugere que a relação entre as variáveis
(c) Qual a escala apropriada para linearizar o gráfico de
(d) Até onde você justifica a aplicação da Lei de Newton do resfriamento neste caso?
(e) Determine o valor e a dimensão da constante A.
Passo 1
O enunciado nos diz que, segundo a Lei de Newton do Resfriamento, a diferença de temperatura
satisfaz
e portanto
No experimento um termômetro sai de água fervente e vai para o ar, e medimos
até quase o equilíbrio com a temperatura ambiente. Queremos:
(a) o gráfico de vs.\
,
(b) dizer se isso parece exponencial,
(c) encontrar a escala que lineariza e traçar o gráfico nela,
(d) discutir até onde a lei vale,
(e) extrair e sua unidade.
(a) o gráfico de
(b) dizer se isso parece exponencial,
(c) encontrar a escala que lineariza e traçar o gráfico nela,
(d) discutir até onde a lei vale,
(e) extrair
Passo 2
Primeiro identificamos
como o valor que
tende quando
. Pelos dados, fica claro que
. Logo montamos a tabela de
:
Passo 3
(a) Ao traçar
no eixo vertical contra
no horizontal obtemos uma curva que decai rápido no início e depois vai nivelando perto de zero.
(b) Essa forma de decaimento rapido seguido de “achatamento” caracteriza bem uma lei do tipo , ou seja, exponencial.
(b) Essa forma de decaimento rapido seguido de “achatamento” caracteriza bem uma lei do tipo
Passo 4
(c) Para linearizar
Assim basta usar escala semilogarítmica vertical (ou seja, traçar
vs.\
). Abaixo a tabela de
para os valores usados na reta principal:
No gráfico
vs.\
esses pontos caem praticamente sobre uma reta de coeficiente angular
.
Passo 5
(d) A Lei de Newton do Resfriamento vale enquanto o mecanismo de troca térmica for dominado por convecção linear e o coeficiente
permanecer constante. Na prática, isso dá um bom ajuste até
ainda alguns graus acima de zero (digamos
, isto é, até cerca de
s). Depois disso o sinal de ruído e erros de medição quando
é muito pequeno faz o modelo perder precisão.
Passo 6
(e) Extraindo o coeficiente angular da reta de
vs.\
(por exemplo pelo método dos mínimos quadrados ou ajustando dois pontos extremos), obtemos algo como
Logo
Resposta
(a) Gráfico de
vs.\
: curva decrescente rápida que vai se achatando perto de zero.
(b) Sim, a forma é compatível com decaimento exponencial.
(c) Escala semilogarítmica em , ou seja, plotar
vs.\
; nesse gráfico obtém-se uma reta.
(d) O modelo vale bem enquanto (até
s), depois o erro de medida domina.
(e) .
(b) Sim, a forma é compatível com decaimento exponencial.
(c) Escala semilogarítmica em
(d) O modelo vale bem enquanto
(e)