5^{\circ} Questão: (1.0 ponto)
Mostre que o \lim _{(x, y) \rightarrow(1,1)} \frac{x^{2}-1+(y-1)^{2}}{x-y^{2}} não existe. Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\lim_{(x,y)\to(1,1)} \frac{x^{2}-1+(y-1)^{2}}{x-y^{2}}
não existe. Informação dada e observações imediatas: a função é a razão acima; o ponto de aproximação é (1,1). Se substituirmos (x,y)=(1,1) obtemos o caso indeterminado
\frac{1^{2}-1+(1-1)^{2}}{1-1^{2}}=\frac{0}{0}.
Ou seja, a forma direta dá 0/0, então é preciso analisar o comportamento quando (x,y) se aproxima de (1,1) por diferentes caminhos.
Conceito e estratégia didática: em funções de duas variáveis, o limite em (1,1) existe e é igual a um número L se, e somente se, toda sequência (x_n,y_n) que converge para (1,1) faz com que os valores da função \frac{x^{2}-1+(y-1)^{2}}{x-y^{2}} tendam a L. Uma técnica prática para mostrar que um limite NÃO existe é encontrar dois caminhos (ou duas sequências) que levem a (1,1) e para os quais os limites das imagens sejam diferentes. Se acharmos duas tais abordagens com limites diferentes, então não há um único L comum, e portanto o limite não existe. Vou aplicar essa estratégia.

Passo 2

Primeiro caminho: aproximar por y=1 (a reta horizontal). Aqui fazemos y=1 e deixamos x\to 1. Substituindo y=1 na função obtemos, para x\neq 1,
\frac{x^{2}-1+(1-1)^{2}}{x-1}=\frac{x^{2}-1}{x-1}.
Agora aplicamos fatoração do numerador: x^{2}-1=(x-1)(x+1). Então, para x\neq 1,
\frac{x^{2}-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1.
Como estamos tomando x\to 1, o limite ao longo de y=1 é
\lim_{x\to 1} (x+1)=2.
Portanto, aproximando por y=1 o valor da expressão tende a 2.

Passo 3

Segundo caminho: aproximar por y=x (a reta diagonal). Aqui fazemos y=x e deixamos x\to 1. Substituindo y=x na função, para x\neq 1 e x próximo de 1,
\frac{x^{2}-1+(x-1)^{2}}{x-x^{2}}.
Vamos simplificar o numerador e denominador passo a passo. Primeiro o numerador:
x^{2}-1+(x-1)^{2}=x^{2}-1+(x^{2}-2x+1)=2x^{2}-2x.
Fatorando 2x^{2}-2x obtemos
2x^{2}-2x = 2x(x-1).
Agora o denominador:
x-x^{2}=x(1-x)=-x(x-1).
Portanto a fração torna-se, para x\neq 1,
\frac{2x(x-1)}{-x(x-1)}.
Cancelando o fator comum x(x-1) (válido para x\neq 0 e x\neq 1; estamos considerando x próximos de 1 mas distintos de 1), ficamos com
\frac{2x(x-1)}{-x(x-1)}=-2.
Assim, ao aproximar por y=x o valor da expressão é constante igual a -2, e portanto
\lim_{x\to 1} \frac{x^{2}-1+(x-1)^{2}}{x-x^{2}}=-2.

Passo 4

Conclusão pela comparação de caminhos: ao aproximar (x,y) para (1,1) por y=1 obtivemos limite 2; ao aproximar por y=x obtivemos limite -2. Como esses dois limites são diferentes, não existe um único número L tal que todas as aproximações levem a L. Pelo critério de caminhos (ou sequências), isso prova que
\lim_{(x,y)\to(1,1)} \frac{x^{2}-1+(y-1)^{2}}{x-y^{2}}
não existe.
Observação final para a prova: se você quiser escrever isso com sequências, pode tomar por exemplo a sequência (x_n,y_n)=(1+\tfrac{1}{n},1) que dá limite 2, e a sequência (x_n,y_n)=(1+\tfrac{1}{n},1+\tfrac{1}{n}) que dá limite -2. Duas sequências convergentes para (1,1) com imagens convergindo para valores distintos é outra forma direta de argumentar que o limite não existe. Força aí na prova — você já tem a contraexemplo padrão e bem enxuto!

Resposta

O limite não existe.

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