Questão: (1.0 ponto)
Mostre que o
não existe. Justifique sua resposta.
Mostre que o
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
não existe. Informação dada e observações imediatas: a função é a razão acima; o ponto de aproximação é
. Se substituirmos
obtemos o caso indeterminado
Ou seja, a forma direta dá
, então é preciso analisar o comportamento quando
se aproxima de
por diferentes caminhos.
Conceito e estratégia didática: em funções de duas variáveis, o limite em existe e é igual a um número
se, e somente se, toda sequência
que converge para
faz com que os valores da função
tendam a
. Uma técnica prática para mostrar que um limite NÃO existe é encontrar dois caminhos (ou duas sequências) que levem a
e para os quais os limites das imagens sejam diferentes. Se acharmos duas tais abordagens com limites diferentes, então não há um único
comum, e portanto o limite não existe. Vou aplicar essa estratégia.
Conceito e estratégia didática: em funções de duas variáveis, o limite em
Passo 2
Primeiro caminho: aproximar por
(a reta horizontal). Aqui fazemos
e deixamos
. Substituindo
na função obtemos, para
,
Agora aplicamos fatoração do numerador:
. Então, para
,
Como estamos tomando
, o limite ao longo de
é
Portanto, aproximando por
o valor da expressão tende a
.
Passo 3
Segundo caminho: aproximar por
(a reta diagonal). Aqui fazemos
e deixamos
. Substituindo
na função, para
e
próximo de
,
Vamos simplificar o numerador e denominador passo a passo. Primeiro o numerador:
Fatorando
obtemos
Agora o denominador:
Portanto a fração torna-se, para
,
Cancelando o fator comum
(válido para
e
; estamos considerando
próximos de
mas distintos de
), ficamos com
Assim, ao aproximar por
o valor da expressão é constante igual a
, e portanto
Passo 4
Conclusão pela comparação de caminhos: ao aproximar
para
por
obtivemos limite
; ao aproximar por
obtivemos limite
. Como esses dois limites são diferentes, não existe um único número
tal que todas as aproximações levem a
. Pelo critério de caminhos (ou sequências), isso prova que
não existe.
Observação final para a prova: se você quiser escrever isso com sequências, pode tomar por exemplo a sequência que dá limite
, e a sequência
que dá limite
. Duas sequências convergentes para
com imagens convergindo para valores distintos é outra forma direta de argumentar que o limite não existe. Força aí na prova — você já tem a contraexemplo padrão e bem enxuto!
Observação final para a prova: se você quiser escrever isso com sequências, pode tomar por exemplo a sequência
Resposta
O limite não existe.