Questão:(1.0 ponto) Seja
uma função diferenciável onde:
e
,
e
. Utilizando a regra da cadeia, determine:
Passo 1
O enunciado pede para determinar
sabendo que
é diferenciável,
,
e os seguintes dados:
A tarefa é calcular a derivada temporal de
no instante
.
Passo 2
Vamos usar a regra da cadeia para funções compostas. Se
e
é diferenciável, a variação de
em função de
é dada por:
Explicando com calma:
é a derivada parcial de
em relação a
(ou seja, quanto
muda quando só
muda, mantendo
fixo) e
é a derivada parcial em relação a
. A fórmula vem da aproximação linear (diferencial):
e dividindo por
obtemos a expressão acima.
Passo 3
Agora avaliamos a fórmula em
. Substituindo
nas derivadas parciais, obtemos:
Passo 4
Substituímos os valores numéricos fornecidos:
Calcule passo a passo:
Passo 5
Resultado obtido:
. Isso significa que, naquele instante,
está diminuindo a uma taxa de
unidades por unidade de
. Força aí — essa aplicação direta da regra da cadeia é padrão em prova e vale a pena decorar o raciocínio linear que usamos.