6^{\circ} Questão:(1.0 ponto) Seja z=f(x, y) uma função diferenciável onde: x=x(t), y=y(t) e x(0)=1, \frac{d x}{d t}(0)=5, y(0)=2, \frac{d y}{d t}(0)=-4, f_{x}(1,2)=-6 e f_{y}(1,2)=-1. Utilizando a regra da cadeia, determine: \frac{d z}{d t}(0)

Passo 1

O enunciado pede para determinar \frac{dz}{dt}(0) sabendo que z=f(x,y) é diferenciável, x=x(t), y=y(t) e os seguintes dados:
x(0)=1,\quad \frac{dx}{dt}(0)=5,\quad y(0)=2,\quad \frac{dy}{dt}(0)=-4,
f_{x}(1,2)=-6,\quad f_{y}(1,2)=-1.
A tarefa é calcular a derivada temporal de z no instante t=0.

Passo 2

Vamos usar a regra da cadeia para funções compostas. Se z=f(x(t),y(t)) e f é diferenciável, a variação de z em função de t é dada por:
\frac{dz}{dt}=f_{x}(x(t),y(t))\frac{dx}{dt}+f_{y}(x(t),y(t))\frac{dy}{dt}.
Explicando com calma: f_{x} é a derivada parcial de f em relação a x (ou seja, quanto z muda quando só x muda, mantendo y fixo) e f_{y} é a derivada parcial em relação a y. A fórmula vem da aproximação linear (diferencial):
dz \approx f_{x}\,dx + f_{y}\,dy,
e dividindo por dt obtemos a expressão acima.

Passo 3

Agora avaliamos a fórmula em t=0. Substituindo (x(0),y(0))=(1,2) nas derivadas parciais, obtemos:
\frac{dz}{dt}(0)=f_{x}(1,2)\cdot\frac{dx}{dt}(0)+f_{y}(1,2)\cdot\frac{dy}{dt}(0).

Passo 4

Substituímos os valores numéricos fornecidos:
\frac{dz}{dt}(0)=(-6)\cdot 5 + (-1)\cdot (-4).
Calcule passo a passo:
(-6)\cdot 5 = -30,
(-1)\cdot (-4) = 4,
-30 + 4 = -26.

Passo 5

Resultado obtido: \frac{dz}{dt}(0)=-26. Isso significa que, naquele instante, z está diminuindo a uma taxa de 26 unidades por unidade de t. Força aí — essa aplicação direta da regra da cadeia é padrão em prova e vale a pena decorar o raciocínio linear que usamos.

Resposta

-26

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