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Questão:(2.0 pontos) Seja
a) Encontre a equação do plano tangente à
no ponto (
).
b) Use aproximação linear para calcular
.
a) Encontre a equação do plano tangente à
b) Use aproximação linear para calcular
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- (a) Encontrar a equação do plano tangente à superfície
no ponto . - (b) Usar a aproximação linear (linearização) para calcular
.
Informações relevantes dadas pelo enunciado: - A função é
. - O ponto onde queremos o plano tangente é
. Note que é o valor de em ; de fato , então o ponto na superfície é consistente.
Passo 2
Entender o que é preciso calcular: para o plano tangente à superfície
em
usamos a fórmula da linearização (plano tangente):
Aqui:
-
é a derivada parcial de em relação a : mede a taxa de variação de quando muda e fica fixo. -
é a derivada parcial de em relação a : mede a taxa de variação de quando muda e fica fixo.
Essa fórmula vem de aproximar a superfície por um plano usando a expansão linear (primeiro termo de Taylor) em duas variáveis. Vamos calculare .
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
.
Para
: tratamos
como constante e derivamos em relação a
. A função é uma exponencial composta; regra da cadeia dá
Como
, obtemos
Para
: tratamos
como constante e derivamos em relação a
:
Como
, obtemos
Expliquei: a regra da cadeia diz que a derivada de
é
para a parcial em
(e similar para
).
Passo 4
Avaliar as derivadas parciais no ponto
.
Primeiro calcule o fator exponencial em
:
Agora:
Interpretação: ao redor de
, uma pequena variação em
de
muda
aproximadamente em
; similarmente, uma pequena variação em
de
muda
aproximadamente em
.
Passo 5
Montar a equação do plano tangente usando a fórmula da Passo 2. Substituindo
,
,
,
,
:
Note que
. Portanto
Passo 6
Simplificar a equação do plano tangente para uma forma mais limpa. Desenvolvendo:
Logo uma forma simples do plano tangente é
(ou, rearranjando para forma linear:
.)
Passo 7
Explicar a aproximação linear (linearização) e aplicá-la para aproximar
.
A aproximação linear de
em torno de
é exatamente o plano tangente:
Ela nos dá uma aproximação de
quando
está próximo de
. Aqui vamos aplicar em
e
(ou seja,
,
em notação ponto): isso corresponde a pequenas variações
e
.
Usando a forma diferencial:
Substituindo
,
,
,
:
Alternativamente, substituir diretamente na equação do plano tangente
:
Passo 8
Comentário final e verificação numérica (opcional, para entender o erro da aproximação): o valor exato seria
portanto a aproximação linear
não é exata, mas razoável para variações pequenas; o erro é cerca de
. Isso ilustra que a linearização é uma aproximação de primeira ordem.
Resposta
(a)
(b)
(b)