4 { }^{\text {® }} Questão:(2.0 pontos) Seja f(x, y)=e^{y^{2}-x^{2}}
a) Encontre a equação do plano tangente à f no ponto ( 1,-1,1 ).
b) Use aproximação linear para calcular f(1,1 ;-0,9).

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=e^{y^{2}-x^{2}} e pede duas coisas:
  • (a) Encontrar a equação do plano tangente à superfície z=f(x,y) no ponto (1,-1,1).
  • (b) Usar a aproximação linear (linearização) para calcular f(1{,}1,\,-0{,}9).
    Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função é f(x,y)=e^{y^{2}-x^{2}}.
  • O ponto onde queremos o plano tangente é (x_0,y_0,z_0)=(1,-1,1). Note que z_0 é o valor de f em (1,-1); de fato f(1,-1)=e^{(-1)^2-1^2}=e^{0}=1, então o ponto na superfície é consistente.

Passo 2

Entender o que é preciso calcular: para o plano tangente à superfície z=f(x,y) em (x_0,y_0,z_0) usamos a fórmula da linearização (plano tangente):
z = f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0)\,(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)\,(y-y_0).
Aqui:
  • f_x é a derivada parcial de f em relação a x: mede a taxa de variação de f quando x muda e y fica fixo.
  • f_y é a derivada parcial de f em relação a y: mede a taxa de variação de f quando y muda e x fica fixo.
    Essa fórmula vem de aproximar a superfície por um plano usando a expansão linear (primeiro termo de Taylor) em duas variáveis. Vamos calcular f_x e f_y.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f(x,y)=e^{y^{2}-x^{2}}.
Para f_x: tratamos y como constante e derivamos em relação a x. A função é uma exponencial composta; regra da cadeia dá
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x} e^{y^{2}-x^{2}} = e^{y^{2}-x^{2}}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(y^{2}-x^{2}).
Como \frac{\partial}{\partial x}(y^{2}-x^{2}) = -2x, obtemos
f_x(x,y) = -2x\,e^{y^{2}-x^{2}}.
Para f_y: tratamos x como constante e derivamos em relação a y:
f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y} e^{y^{2}-x^{2}} = e^{y^{2}-x^{2}}\cdot\frac{\partial}{\partial y}(y^{2}-x^{2}).
Como \frac{\partial}{\partial y}(y^{2}-x^{2}) = 2y, obtemos
f_y(x,y) = 2y\,e^{y^{2}-x^{2}}.
Expliquei: a regra da cadeia diz que a derivada de e^{g(x,y)} é e^{g(x,y)}\cdot g_x para a parcial em x (e similar para y).

Passo 4

Avaliar as derivadas parciais no ponto (x_0,y_0)=(1,-1).
Primeiro calcule o fator exponencial em (1,-1):
e^{y_0^{2}-x_0^{2}} = e^{(-1)^{2}-1^{2}} = e^{1-1} = e^{0}=1.
Agora:
f_x(1,-1) = -2\cdot 1 \cdot 1 = -2,
f_y(1,-1) = 2\cdot(-1)\cdot 1 = -2.
Interpretação: ao redor de (1,-1), uma pequena variação em x de \Delta x muda f aproximadamente em -2\,\Delta x; similarmente, uma pequena variação em y de \Delta y muda f aproximadamente em -2\,\Delta y.

Passo 5

Montar a equação do plano tangente usando a fórmula da Passo 2. Substituindo f(1,-1)=1, f_x(1,-1)=-2, f_y(1,-1)=-2, x_0=1, y_0=-1:
z = 1 + (-2)\,(x-1) + (-2)\,(y-(-1)).
Note que y-(-1)=y+1. Portanto
z = 1 -2(x-1) -2(y+1).

Passo 6

Simplificar a equação do plano tangente para uma forma mais limpa. Desenvolvendo:
z = 1 -2x +2 -2y -2 = 1 -2x -2y.
Logo uma forma simples do plano tangente é
z = 1 - 2x - 2y.
(ou, rearranjando para forma linear: 2x+2y+z-1=0.)

Passo 7

Explicar a aproximação linear (linearização) e aplicá-la para aproximar f(1{,}1,\,-0{,}9).
A aproximação linear de f em torno de (x_0,y_0) é exatamente o plano tangente:
L(x,y) = f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0)\,(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)\,(y-y_0).
Ela nos dá uma aproximação de f(x,y) quando (x,y) está próximo de (x_0,y_0). Aqui vamos aplicar em x=1{,}1 e y=-0{,}9 (ou seja, x=1{.}1, y=-0{.}9 em notação ponto): isso corresponde a pequenas variações \Delta x = x-x_0 = 1{,}1-1 = 0{,}1 e \Delta y = y-y_0 = -0{,}9-(-1) = 0{,}1.
Usando a forma diferencial:
f(1{,}1,\,-0{,}9) \approx L(1{,}1,\,-0{,}9) = 1 + f_x(1,-1)\,\Delta x + f_y(1,-1)\,\Delta y.
Substituindo f_x(1,-1)=-2, f_y(1,-1)=-2, \Delta x=0{,}1, \Delta y=0{,}1:
f(1{,}1,\,-0{,}9) \approx 1 + (-2)\cdot 0{,}1 + (-2)\cdot 0{,}1 = 1 - 0{,}2 - 0{,}2 = 0{,}6.
Alternativamente, substituir diretamente na equação do plano tangente z=1-2x-2y:
z = 1 - 2(1{,}1) - 2(-0{,}9) = 1 -2{,}2 +1{,}8 = 0{,}6.

Passo 8

Comentário final e verificação numérica (opcional, para entender o erro da aproximação): o valor exato seria
f(1{,}1,\,-0{,}9) = e^{(-0{,}9)^{2} - (1{,}1)^{2}} = e^{0{,}81 - 1{,}21} = e^{-0{,}4} \approx 0{,}6703,
portanto a aproximação linear 0{,}6 não é exata, mas razoável para variações pequenas; o erro é cerca de 0{,}0703. Isso ilustra que a linearização é uma aproximação de primeira ordem.

Resposta

(a) z = 1 - 2x - 2y
(b) f(1{,}1,\,-0{,}9) \approx 0{,}6

Exercícios relacionados