Questão:(2.0 pontos)
Determine e esboce o domínio da função:
Determine e esboce o domínio da função:
Passo 1
O enunciado pede que eu determine e esboce o domínio da função
Informações dadas no enunciado que são relevantes:
- A expressão envolve uma raiz quadrada
. - A expressão tem uma divisão por
. - Preciso indicar exatamente para quais pares
a função está bem definida (domínio) e desenhar/descritar essa região no plano.
Passo 2
O que significa “domínio” aqui e quais condições gerais temos de verificar?
Domínio é o conjunto de todos os pontos para os quais a expressão que define
produz um número real e finito. Para a nossa função temos duas restrições que vêm diretamente do tipo das operações:
Domínio é o conjunto de todos os pontos
- A raiz quadrada exige que o radicando seja não negativo: isto é, devemos ter
. - A divisão exige que o denominador seja diferente de zero: isto é,
.
Vou tratar cada uma dessas condições separadamente e depois juntá-las.
Passo 3
Condição da raiz:
estar definida realmente implica
ou seja
Explicação didática:
é a inequação que descreve o disco unitário fechado centrado na origem — isto é, todos os pontos do plano cuja distância à origem é menor ou igual a
. Exemplos concretos para fixar a ideia:
satisfaz pois
;
satisfaz;
não satisfaz pois
.
Passo 4
Condição do denominador:
, isto é
Explicação didática:
é a reta que passa pela origem com inclinação
(diagonal nordeste-sudoeste). A condição
significa que devemos excluir dessa reta todos os pontos em que ela se sobrepõe ao disco permitido pela raiz. Agora vamos ver exatamente qual parte dessa reta fica dentro do disco.
Interseção da reta
com o disco
: impondo
em
obtemos
Portanto
. Os pontos de interseção na fronteira (círculo) ocorrem quando
, isto é nos pontos
Esses dois pontos estão sobre o círculo
e também sobre a reta
; neles o numerador
vale
e o denominador vale
, portanto nesses pontos a expressão é indefinida e devem ser excluídos.
Passo 5
Agora junto as duas condições: a raiz exige
(o disco fechado) e a divisão exige
(a reta inteira está proibida). Logo o domínio é exatamente o disco unitário fechado, mas com todos os pontos da reta
que caem dentro desse disco removidos. Observações importantes e intuitivas:
- Pontos do disco que não estão na reta
são válidos; isso inclui pontos interiores e pontos da fronteira do círculo quando . - Os pontos onde
e geram e denominador não nulo, portanto nesses pontos — isso é permitido. - Os pontos da reta
com são interiormente removidos; os dois pontos extremos também são removidos (pois dão ).
Passo 6
Como esboçar (desenho mental ou no papel):
- Desenhe o círculo de raio
centrado na origem; sombree a região interna (é o disco fechado). - Desenhe a reta
(diagonal). Corte (apague) da região sombreada o segmento dessa reta entre os dois pontos onde ela cruza o círculo, ou seja entre e . Marque esses extremos como pontos abertos (excluídos). - O domínio é o disco fechado completo exceto esse segmento da reta
que atravessa o disco (segmento inclusive dos extremos).
Força aí — não é complicado: é só um disco com uma risca diagonal cortando-o, e essa risca é removida.