\mathbf{3}^{\underline{\circ}} Questão:(2.0 pontos)
Determine e esboce o domínio da função: f(x, y)=\frac{\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}}{y-x}

Passo 1

O enunciado pede que eu determine e esboce o domínio da função
f(x,y)=\frac{\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}}{y-x}.
Informações dadas no enunciado que são relevantes:
  • A expressão envolve uma raiz quadrada \sqrt{1-x^{2}-y^{2}}.
  • A expressão tem uma divisão por y-x.
  • Preciso indicar exatamente para quais pares (x,y) a função está bem definida (domínio) e desenhar/descritar essa região no plano.

Passo 2

O que significa “domínio” aqui e quais condições gerais temos de verificar?
Domínio é o conjunto de todos os pontos (x,y)\in\mathbb{R}^{2} para os quais a expressão que define f produz um número real e finito. Para a nossa função temos duas restrições que vêm diretamente do tipo das operações:
  1. A raiz quadrada exige que o radicando seja não negativo: isto é, devemos ter 1-x^{2}-y^{2}\ge 0.
  2. A divisão exige que o denominador seja diferente de zero: isto é, y-x\neq 0.
Vou tratar cada uma dessas condições separadamente e depois juntá-las.

Passo 3

Condição da raiz: \sqrt{1-x^{2}-y^{2}} estar definida realmente implica
1-x^{2}-y^{2}\ge 0,
ou seja
x^{2}+y^{2}\le 1.
Explicação didática: \;x^{2}+y^{2}\le 1 é a inequação que descreve o disco unitário fechado centrado na origem — isto é, todos os pontos do plano cuja distância à origem é menor ou igual a 1. Exemplos concretos para fixar a ideia: (0,0) satisfaz pois 0^{2}+0^{2}=0\le1; (1,0) satisfaz; (0{,}8,0{,}8) não satisfaz pois 0{,}8^{2}+0{,}8^{2}=1{,}28>1.

Passo 4

Condição do denominador: y-x\neq 0, isto é
y\neq x.
Explicação didática: y=x é a reta que passa pela origem com inclinação 45^\circ (diagonal nordeste-sudoeste). A condição y\neq x significa que devemos excluir dessa reta todos os pontos em que ela se sobrepõe ao disco permitido pela raiz. Agora vamos ver exatamente qual parte dessa reta fica dentro do disco.
Interseção da reta y=x com o disco x^{2}+y^{2}\le1: impondo y=x em x^{2}+y^{2}\le1 obtemos
x^{2}+x^{2}\le 1 \quad\Rightarrow\quad 2x^{2}\le 1 \quad\Rightarrow\quad x^{2}\le \frac{1}{2}.
Portanto |x|\le \dfrac{1}{\sqrt{2}}. Os pontos de interseção na fronteira (círculo) ocorrem quando x^{2}=\dfrac{1}{2}, isto é nos pontos
\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\quad\text{e}\quad\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\right).
Esses dois pontos estão sobre o círculo x^{2}+y^{2}=1 e também sobre a reta y=x; neles o numerador \sqrt{1-x^{2}-y^{2}} vale 0 e o denominador vale 0, portanto nesses pontos a expressão é indefinida e devem ser excluídos.

Passo 5

Agora junto as duas condições: a raiz exige x^{2}+y^{2}\le1 (o disco fechado) e a divisão exige y\neq x (a reta inteira está proibida). Logo o domínio é exatamente o disco unitário fechado, mas com todos os pontos da reta y=x que caem dentro desse disco removidos. Observações importantes e intuitivas:
  • Pontos do disco que não estão na reta y=x são válidos; isso inclui pontos interiores e pontos da fronteira do círculo quando y\neq x.
  • Os pontos onde x^{2}+y^{2}=1 e y\neq x geram \sqrt{1-x^{2}-y^{2}}=0 e denominador não nulo, portanto f=0 nesses pontos — isso é permitido.
  • Os pontos da reta y=x com |x|<\dfrac{1}{\sqrt{2}} são interiormente removidos; os dois pontos extremos \left(\pm\dfrac{1}{\sqrt{2}},\pm\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) também são removidos (pois dão 0/0).

Passo 6

Como esboçar (desenho mental ou no papel):
  1. Desenhe o círculo de raio 1 centrado na origem; sombree a região interna (é o disco fechado).
  2. Desenhe a reta y=x (diagonal). Corte (apague) da região sombreada o segmento dessa reta entre os dois pontos onde ela cruza o círculo, ou seja entre \left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}},-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) e \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}},\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right). Marque esses extremos como pontos abertos (excluídos).
  3. O domínio é o disco fechado completo exceto esse segmento da reta y=x que atravessa o disco (segmento inclusive dos extremos).
Força aí — não é complicado: é só um disco com uma risca diagonal cortando-o, e essa risca é removida.

Resposta

\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}\le 1,\\ y\neq x\}.

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