Questão (2.5 Pontos): Considere condições de regime estacionário na condução unidimensional em uma parede plana com uma condutividade térmica de
e uma espessura
, sem geração interna de calor. Determine o fluxo térmico e a grandeza desconhecida para cada caso mostrado na tabela e esboce a distribuição de temperatura, indicando a direção do fluxo térmico.
T1 = 70, t2 = ?,
= 100
| caso | T1 | t2 |
|
||
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 50 | -40 | ? | ||
| 2 | -30 | -5 | ? | ||
| 3 | 70 | ? | 100 | ||
| 4 | ? | 40 | 120 | ||
| 5 | ? | 15 | 200 |
Passo 1
O enunciado pede, para cada caso da tabela, que eu determine (1) o fluxo térmico e (2) a grandeza desconhecida (ou seja,
,
ou
), e que esboce a distribuição de temperatura indicando a direção do fluxo.
Dados fornecidos, que vou usar em toda a resolução:
Dados fornecidos, que vou usar em toda a resolução:
não há geração interna de calor e a condução é unidimensional em regime estacionário. A tabela contém cinco casos com combinações de
,
e
; em cada caso uma dessas grandezas é desconhecida.
Passo 2
Vamos reunir as fórmulas e convenções que nos permitem calcular tudo, com explicação didática, passo a passo.
- Lei de Fourier em uma dimensão (forma diferencial): ela relaciona o fluxo de calor por unidade de área na direção
com o gradiente de temperatura nessa direção. A expressão é
onde
-
é o fluxo térmico por unidade de área (densidade de fluxo), em ; -
é a condutividade térmica, em ; -
é o gradiente de temperatura, em .
Interpretação do sinal: o menos na lei de Fourier diz que o fluxo tem sentido oposto ao aumento de temperatura. Se
(temperatura aumenta no sentido
), então
(o calor flui no sentido
). Se
, então
.
- Temperatura é linear no material (sem geração interna,
constante, estado estacionário). Se eu tomo na face com temperatura e na face com temperatura , o gradiente de temperatura entre as faces é
Explicando as variáveis:
-
é a temperatura na face ; -
é a temperatura na face ; -
é a espessura da parede.
- Como vou usar na prática:
- Se conheço
e , calculo por e depois por . - Se conheço
e , calculo . - Se conheço
e , calculo .
Vou aplicar exatamente essas fórmulas, mostrando todas as contas para cada caso. Lembre-se: sinal do fluxo indica direção (positivo
fluxo no sentido
, negativo
no sentido
).
Passo 3
Primeiro calculo o gradiente usando
Substituindo números:
Agora o fluxo por Fourier:
Interpretação:
então o calor flui no sentido
(ou seja, da face
para a face
). Esboço verbal da distribuição: linha reta que vai de
em
para
em
; temperatura decresce do lado esquerdo para o direito, e o fluxo aponta para a direita.
Passo 4
Calculo o gradiente:
Fluxo:
Interpretação:
então o fluxo é no sentido
(da face direita para a esquerda). Esboço verbal: temperatura aumenta do lado esquerdo (
) para o direito (
); o calor vai do lado direito mais quente para o esquerdo mais frio.
Passo 5
Usando
:
Fluxo por Fourier:
Interpretação: gradiente positivo (temperatura aumenta para a direita), então
e o calor flui para a esquerda (
). Esboço verbal: linha que vai de
em
para
em
; fluxo para a esquerda.
Passo 6
Aqui uso
:
Fluxo:
Interpretação: fluxo negativo (sentido
); temperatura aumenta para a direita (de
em
até
em
) e o calor vai do lado direito para o esquerdo.
Passo 7
Calculo
:
Fluxo:
Interpretação: fluxo negativo (sentido
). Temperatura aumenta fortemente para a direita (de
a
), calor flui da direita para a esquerda.
Resposta
Caso 1:
Caso 2:
Caso 3:
Caso 4:
Caso 5:
Caso 2:
Caso 3:
Caso 4:
Caso 5: