\mathbf{2}^{\boldsymbol{\circ}} Questão (2.5 Pontos): Considere condições de regime estacionário na condução unidimensional em uma parede plana com uma condutividade térmica de \mathrm{k}=45 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C} e uma espessura L=0,5 \mathrm{~m}, sem geração interna de calor. Determine o fluxo térmico e a grandeza desconhecida para cada caso mostrado na tabela e esboce a distribuição de temperatura, indicando a direção do fluxo térmico.
T1 = 70, t2 = ?, \mathrm{dt} / \mathrm{dx} = 100
caso T1 t2 \mathrm{dt} / \mathrm{dx}
1 50 -40 ?
2 -30 -5 ?
3 70 ? 100
4 ? 40 120
5 ? 15 200

Passo 1

O enunciado pede, para cada caso da tabela, que eu determine (1) o fluxo térmico e (2) a grandeza desconhecida (ou seja, T_1, T_2 ou \dfrac{dT}{dx}), e que esboce a distribuição de temperatura indicando a direção do fluxo.
Dados fornecidos, que vou usar em toda a resolução:
k = 45\\ \mathrm{W/(m\cdot^\circ C)},\qquad L = 0,5\\ \mathrm{m},
não há geração interna de calor e a condução é unidimensional em regime estacionário. A tabela contém cinco casos com combinações de T_1, T_2 e \dfrac{dT}{dx}; em cada caso uma dessas grandezas é desconhecida.

Passo 2

Vamos reunir as fórmulas e convenções que nos permitem calcular tudo, com explicação didática, passo a passo.
  1. Lei de Fourier em uma dimensão (forma diferencial): ela relaciona o fluxo de calor por unidade de área na direção x com o gradiente de temperatura nessa direção. A expressão é
\dot q_x'' = -\,k\,\frac{dT}{dx},
onde
  • \dot q_x'' é o fluxo térmico por unidade de área (densidade de fluxo), em \mathrm{W/m^2};
  • k é a condutividade térmica, em \mathrm{W/(m\cdot^\circ C)};
  • \dfrac{dT}{dx} é o gradiente de temperatura, em ^\circ\mathrm{C}/\mathrm{m}.
Interpretação do sinal: o menos na lei de Fourier diz que o fluxo tem sentido oposto ao aumento de temperatura. Se \dfrac{dT}{dx}>0 (temperatura aumenta no sentido +x), então \dot q_x''<0 (o calor flui no sentido -x). Se \dfrac{dT}{dx}<0, então \dot q_x''>0.
  1. Temperatura é linear no material (sem geração interna, k constante, estado estacionário). Se eu tomo x=0 na face com temperatura T_1 e x=L na face com temperatura T_2, o gradiente de temperatura entre as faces é
\frac{dT}{dx}=\frac{T_2-T_1}{L}.
Explicando as variáveis:
  • T_1 é a temperatura na face x=0;
  • T_2 é a temperatura na face x=L;
  • L é a espessura da parede.
  1. Como vou usar na prática:
  • Se conheço T_1 e T_2, calculo \dfrac{dT}{dx} por \dfrac{T_2-T_1}{L} e depois \dot q_x'' por \dot q_x''=-k\,\dfrac{dT}{dx}.
  • Se conheço T_1 e \dfrac{dT}{dx}, calculo T_2=T_1+L\cdot\dfrac{dT}{dx}.
  • Se conheço T_2 e \dfrac{dT}{dx}, calculo T_1=T_2-L\cdot\dfrac{dT}{dx}.
Vou aplicar exatamente essas fórmulas, mostrando todas as contas para cada caso. Lembre-se: sinal do fluxo indica direção (positivo \Rightarrow fluxo no sentido +x, negativo \Rightarrow no sentido -x).

Passo 3

Primeiro calculo o gradiente usando
\frac{dT}{dx}=\frac{T_2-T_1}{L}.
Substituindo números:
\frac{dT}{dx}=\frac{-40^\circ\mathrm{C}-50^\circ\mathrm{C}}{0,5\\ \mathrm{m}}=\frac{-90^\circ\mathrm{C}}{0,5\\ \mathrm{m}}=-180\\ ^\circ\mathrm{C}/\mathrm{m}.
Agora o fluxo por Fourier:
\dot q_x''=-k\frac{dT}{dx}=-45\cdot(-180)=8100\\ \mathrm{W/m^2}.
Interpretação: \dot q_x''>0 então o calor flui no sentido +x (ou seja, da face x=0 para a face x=L). Esboço verbal da distribuição: linha reta que vai de T_1=50^\circ\mathrm{C} em x=0 para T_2=-40^\circ\mathrm{C} em x=L; temperatura decresce do lado esquerdo para o direito, e o fluxo aponta para a direita.

Passo 4

Calculo o gradiente:
\frac{dT}{dx}=\frac{-5^\circ\mathrm{C}-(-30^\circ\mathrm{C})}{0,5\\ \mathrm{m}}=\frac{25^\circ\mathrm{C}}{0,5\\ \mathrm{m}}=50\\ ^\circ\mathrm{C}/\mathrm{m}.
Fluxo:
\dot q_x''=-45\cdot 50=-2250\\ \mathrm{W/m^2}.
Interpretação: \dot q_x''<0 então o fluxo é no sentido -x (da face direita para a esquerda). Esboço verbal: temperatura aumenta do lado esquerdo ( -30^\circ\mathrm{C}) para o direito ( -5^\circ\mathrm{C}); o calor vai do lado direito mais quente para o esquerdo mais frio.

Passo 5

Usando T_2=T_1+L\cdot\dfrac{dT}{dx}:
T_2=70^\circ\mathrm{C}+0,5\\ \mathrm{m}\cdot 100\\ ^\circ\mathrm{C}/\mathrm{m}=70^\circ\mathrm{C}+50^\circ\mathrm{C}=120^\circ\mathrm{C}.
Fluxo por Fourier:
\dot q_x''=-45\cdot 100=-4500\\ \mathrm{W/m^2}.
Interpretação: gradiente positivo (temperatura aumenta para a direita), então \dot q_x''<0 e o calor flui para a esquerda ( -x). Esboço verbal: linha que vai de 70^\circ\mathrm{C} em x=0 para 120^\circ\mathrm{C} em x=L; fluxo para a esquerda.

Passo 6

Aqui uso T_1=T_2-L\cdot\dfrac{dT}{dx}:
T_1=40^\circ\mathrm{C}-0,5\\ \mathrm{m}\cdot 120\\ ^\circ\mathrm{C}/\mathrm{m}=40^\circ\mathrm{C}-60^\circ\mathrm{C}=-20^\circ\mathrm{C}.
Fluxo:
\dot q_x''=-45\cdot 120=-5400\\ \mathrm{W/m^2}.
Interpretação: fluxo negativo (sentido -x); temperatura aumenta para a direita (de -20^\circ\mathrm{C} em x=0 até 40^\circ\mathrm{C} em x=L) e o calor vai do lado direito para o esquerdo.

Passo 7

Calculo T_1:
T_1=15^\circ\mathrm{C}-0,5\\ \mathrm{m}\cdot 200\\ ^\circ\mathrm{C}/\mathrm{m}=15^\circ\mathrm{C}-100^\circ\mathrm{C}=-85^\circ\mathrm{C}.
Fluxo:
\dot q_x''=-45\cdot 200=-9000\\ \mathrm{W/m^2}.
Interpretação: fluxo negativo (sentido -x). Temperatura aumenta fortemente para a direita (de -85^\circ\mathrm{C} a 15^\circ\mathrm{C}), calor flui da direita para a esquerda.

Resposta

Caso 1: \dfrac{dT}{dx}=-180\\ ^\circ\mathrm{C}/\mathrm{m},\\ \dot q_x''=8100\\ \mathrm{W/m^2}
Caso 2: \dfrac{dT}{dx}=50\\ ^\circ\mathrm{C}/\mathrm{m},\\ \dot q_x''=-2250\\ \mathrm{W/m^2}
Caso 3: T_2=120^\circ\mathrm{C},\\ \dot q_x''=-4500\\ \mathrm{W/m^2}
Caso 4: T_1=-20^\circ\mathrm{C},\\ \dot q_x''=-5400\\ \mathrm{W/m^2}
Caso 5: T_1=-85^\circ\mathrm{C},\\ \dot q_x''=-9000\\ \mathrm{W/m^2}

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