3^{\circ} Questão ( 2,5 Pontos): Uma parede é formada por uma camada isolante e por uma camada de aço com 600 mm de comprimento e 900 mm de altura. A temperatura da superficie livre do aço é constante e igual a 45^{\circ} \mathrm{C}. A superfície livre do aço está sujeita a uma corrente de ar (com coeficiente convectivo é igual a 15 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} . \mathrm{K}\right), com temperatura igual a 20^{\circ} \mathrm{C} e a uma grande vizinhança (fator de forma igual a 1) com temperatura igual a 30^{\circ} \mathrm{C}. A emissividade da superfície do aço é igual a 0,75 . Considerando condições permanentes, calcule a taxa de calor que se estabelece na parede. Dados: Constante de Stefan-Boltzman: \sigma=5,67 \mathrm{E}-8 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} . \mathrm{K} 4\right) e TK = T^{\circ} \mathrm{C}+273,15.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a taxa de calor (potência térmica) que se estabelece na parede em regime permanente, ou seja, o calor que sai da superfície livre do aço para o ambiente por convecção e por radiação.
Informações fornecidas (peguei todas do enunciado):
  • Dimensões da superfície do aço: comprimento 600\\ \mathrm{mm} e altura 900\\ \mathrm{mm}.
  • Temperatura da superfície livre do aço: T_s=45^\circ\mathrm{C}.
  • Há convecção com ar de temperatura T_\infty=20^\circ\mathrm{C} e coeficiente convectivo h=15\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}).
  • Há troca radiativa com uma grande vizinhança à temperatura T_{sur}=30^\circ\mathrm{C} e fator de forma igual a 1 (logo a superfície “vê” a vizinhança completamente).
  • Emissividade da superfície do aço: \varepsilon=0{,}75.
  • Constante de Stefan–Boltzmann: \sigma=5{,}67\times10^{-8}\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}^4).
  • Conversão de temperatura absoluta: T_K=T^\circ\mathrm{C}+273{,}15.
Resumo do objetivo: calcular a taxa total de calor \dot{Q}=\dot{Q}_{\text{conv}}+\dot{Q}_{\text{rad}} trocada pela superfície de aço de área A.

Passo 2

Calcular a área da superfície do aço e converter unidades para o SI.
Comprimento 600\\ \mathrm{mm}=0{,}6\\ \mathrm{m}.
Altura 900\\ \mathrm{mm}=0{,}9\\ \mathrm{m}.
Área
A=0{,}6\cdot0{,}9=0{,}54\\ \mathrm{m}^2.

Passo 3

Convecção: fórmula e cálculo.
Conceito rápido (aula curtinha): a convecção livre/forçada na superfície é modelada por uma lei de Newton do resfriamento que diz que a taxa de calor por convecção é proporcional à área, ao coeficiente convectivo e à diferença de temperatura entre superfície e fluido distante:
\dot{Q}_{\text{conv}}=h A \left(T_s-T_\infty\right).
Aqui as temperaturas podem ser em ^\circ\mathrm{C} porque diferenças de temperatura são iguais em K e em ^\circ\mathrm{C}.
Substituindo números:
T_s-T_\infty=45-20=25\\ \mathrm{K},
\dot{Q}_{\text{conv}}=15\cdot0{,}54\cdot25.
Calcule:
15\cdot0{,}54=8{,}1, \qquad 8{,}1\cdot25=202{,}5\\ \mathrm{W}.
Logo
\dot{Q}_{\text{conv}}=202{,}5\\ \mathrm{W}.

Passo 4

Radiação: fórmula, conversão para Kelvin e justificativa.
Conceito rápido (aula curtinha): a troca radiativa entre uma superfície cinzenta com emissividade \varepsilon e uma vizinhança grande (fator de forma F=1) é dada por a lei de Stefan–Boltzmann:
\dot{Q}_{\text{rad}}=\varepsilon\,\sigma\,A\left(T_s^4-T_{sur}^4\right),
onde as temperaturas devem estar em Kelvin (potência dos 4). Convertendo:
T_s=45^\circ\mathrm{C}=45+273{,}15=318{,}15\\ \mathrm{K}, \qquad T_{sur}=30^\circ\mathrm{C}=30+273{,}15=303{,}15\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Calcular T_s^4-T_{sur}^4 com passos detalhados (para não perder precisão).
Usamos a identidade a^4-b^4=(a^2-b^2)(a^2+b^2) para evitar multiplicações enormes direto:
Primeiro calcule os quadrados:
T_s^2=(318{,}15)^2=101219{,}4225\\ \mathrm{K}^2,
T_{sur}^2=(303{,}15)^2=91899{,}9225\\ \mathrm{K}^2.
Agora a diferença e a soma:
T_s^2-T_{sur}^2=101219{,}4225-91899{,}9225=9319{,}5,
T_s^2+T_{sur}^2=101219{,}4225+91899{,}9225=193119{,}345.
Multiplicando:
T_s^4-T_{sur}^4=(9319{,}5)\cdot(193119{,}345)\approx1{,}7997757357\times10^{9}\\ \mathrm{K}^4.

Passo 6

Calcular \dot{Q}_{\text{rad}} multiplicando constantes e o resultado do passo anterior.
Primeiro combine emissividade, sigma e área:
\varepsilon\,\sigma\,A=0{,}75\cdot5{,}67\times10^{-8}\cdot0{,}54.
Calcule em partes:
0{,}75\cdot5{,}67\times10^{-8}=4{,}2525\times10^{-8},
4{,}2525\times10^{-8}\cdot0{,}54=2{,}29635\times10^{-8}.
Agora multiplique pelo T^4 diferença:
\dot{Q}_{\text{rad}}=2{,}29635\times10^{-8}\cdot1{,}7997757357\times10^{9}.
Juntando potências de dez: 10^{-8}\cdot10^{9}=10^{1}. Multiplicando os mantissas:
2{,}29635\cdot1{,}7997757357\approx4{,}1329151714.
Portanto
\dot{Q}_{\text{rad}}\approx4{,}1329151714\times10^{1}\\ \mathrm{W}=41{,}329\\ \mathrm{W}.
Arredondando razoavelmente:
\dot{Q}_{\text{rad}}\approx41{,}33\\ \mathrm{W}.

Passo 7

Somar convecção e radiação para obter a taxa total de calor.
\dot{Q}=\dot{Q}_{\text{conv}}+\dot{Q}_{\text{rad}}=202{,}5+41{,}33=243{,}83\\ \mathrm{W}.
Interpretação: isso significa que, em regime permanente, a superfície de aço perde calor para o ambiente à taxa de aproximadamente 243{,}8\\ \mathrm{W}. Força aí — é uma potência na casa de algumas centenas de watts.

Resposta

243{,}83\\ \mathrm{W}

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