\mathbf{2}^{\boldsymbol{\circ}} Questão (2,5 Pontos): Uma parede de 0,92 \mathrm{~cm} de espessura é composta por três camadas. A primeira de tijolo refratário (condutividade térmica 3,6 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C} ), cuja face livre está a uma temperatura de 2500^{\circ} \mathrm{C}. A segunda camada é composta por uma camada isolante (condutividade térmica 0,9 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C} ). A terceira camada é composta por aço \left(26,1 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C}\right) com 2 cm espessura, cuja superfície livre está a uma temperatura de 100^{\circ} \mathrm{C}. A camada isolante está em contato com a camada de tijolo refratário e a camada de aço. Sabendo que o fluxo de calor que se estabelece na parede é igual a 5000 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}. Encontre:
a) As espessuras das camadas de tijolo refratário e da camada isolante.
b) As temperaturas nas interfaces da camada isolante.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos (peguei todos os valores do enunciado):
    • Temperatura da face livre do tijolo refratário: T_{\text{quente}}=2500^\circ\mathrm{C}.
    • Temperatura da face livre do aço: T_{\text{frio}}=100^\circ\mathrm{C}.
    • Fluxo de calor (densidade de fluxo) em regime estacionário: q=5000\\ \mathrm{W/m^{2}}.
    • Condutividades térmicas:
      • tijolo refratário: k_b=3{,}6\\ \mathrm{W/(m\cdot{}^\circ C)}.
      • isolante: k_i=0{,}9\\ \mathrm{W/(m\cdot{}^\circ C)}.
      • aço: k_s=26{,}1\\ \mathrm{W/(m\cdot{}^\circ C)}.
    • Espessura da camada de aço: L_s=2\\ \mathrm{cm}=0{,}02\\ \mathrm{m}.
    • Espessura total da parede: L_{\text{total}}=0{,}92\\ \mathrm{m}.
    • Portanto as espessuras desconhecidas satisfazem: L_b+L_i+L_s=L_{\text{total}} \quad\Rightarrow\quad L_b+L_i=0{,}92-0{,}02=0{,}90\\ \mathrm{m}.
  • O que o enunciado pede:
    (a) Encontrar as espessuras L_b (tijolo) e L_i (isolante).
    (b) Encontrar as temperaturas nas duas interfaces da camada isolante (ou seja, a temperatura na interface tijolo/isolante e a temperatura na interface isolante/aço).

Passo 2

Conceito físico e fórmula principal (aulas rápidas e essenciais):
  • Em regime estacionário, unidimensional e sem geração de calor, o fluxo de calor por condução através de uma camada plana é constante e dado por q=\frac{\Delta T}{R},onde \Delta T é a queda de temperatura na camada e R é a “resistência térmica” da camada por unidade de área.
  • Para uma camada homogênea plana de espessura L e condutividade k, R=\frac{L}{k}.Assim a queda de temperatura na camada é \Delta T = q\frac{L}{k}.
  • Para camadas em série (como aqui: tijolo → isolante → aço) as resistências somam: R_{\text{total}}=\frac{L_b}{k_b}+\frac{L_i}{k_i}+\frac{L_s}{k_s},e a queda total de temperatura entre as faces é \Delta T_{\text{total}}=T_{\text{quente}}-T_{\text{frio}}=q\,R_{\text{total}}.
Essas fórmulas serão usadas diretamente para relacionar as espessuras com o fluxo q e a diferença de temperatura.

Passo 3

Montando as equações com as incógnitas L_b e L_i.
  • A queda total de temperatura é T_{\text{quente}}-T_{\text{frio}}=2400^\circ\mathrm{C}.
  • Aplicando \Delta T_{\text{total}}=q\left(\dfrac{L_b}{k_b}+\dfrac{L_i}{k_i}+\dfrac{L_s}{k_s}\right) obtemos a equação 2400 = 5000\left(\frac{L_b}{3{,}6}+\frac{L_i}{0{,}9}+\frac{0{,}02}{26{,}1}\right).
  • Temos também a equação de soma de espessuras: L_b+L_i=0{,}90.
  • Vamos usar L_i=0{,}90-L_b e substituir na equação da energia para obter uma única equação em L_b.

Passo 4

Fazendo a substituição e simplificando passo a passo.
  • Substituindo L_i: 2400=5000\left(\frac{L_b}{3{,}6}+\frac{0{,}90-L_b}{0{,}9}+\frac{0{,}02}{26{,}1}\right).
  • Separando termos: \frac{L_b}{3{,}6}+\frac{0{,}90-L_b}{0{,}9}=\frac{L_b}{3{,}6}+\frac{0{,}90}{0{,}9}-\frac{L_b}{0{,}9}.
  • Calculando os recíprocos numéricos (passo explicadinho): \frac{1}{3{,}6}=0{,}277777\ldots,\qquad \frac{1}{0{,}9}=1{,}111111\ldotsEntão o coeficiente de L_b é \frac{1}{3{,}6}-\frac{1}{0{,}9}=0{,}277777\ldots-1{,}111111\ldots=-0{,}833333\ldotse o termo constante da soma (sem L_b) é \frac{0{,}90}{0{,}9}=1{,}0.
  • Calcule o termo do aço: \frac{0{,}02}{26{,}1}=0{,}0007668711656441718\\ \text{(aprox.)}.
  • Portanto a equação fica 2400=5000\left(-0{,}8333333333\,L_b + 1{,}0007668711656442\right).
  • Multiplicando os 5000: 2400=5003{,}834355828221 -4166{,}666666666667\,L_b.
  • Isolando L_b: 4166{,}666666666667\,L_b = 5003{,}834355828221-2400=2603{,}834355828221,
L_b=\frac{2603{,}834355828221}{4166{,}666666666667}\approx0{,}624920246\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Encontrando L_i a partir da soma das espessuras.
  • Como L_b+L_i=0{,}90, L_i=0{,}90-L_b=0{,}90-0{,}624920246=0{,}275079754\\ \mathrm{m}.
(Multiplique por 100 para obter em centímetros: L_b\approx62{,}492\\ \mathrm{cm}, L_i\approx27{,}508\\ \mathrm{cm}.)

Passo 6

Calcular as quedas de temperatura em cada camada (passo a passo para achar temperaturas nas interfaces).
  • Queda no tijolo:
    \Delta T_b = q\frac{L_b}{k_b}=5000\cdot\frac{0{,}624920246}{3{,}6}.
    Calcule:
    \frac{0{,}624920246}{3{,}6}=0{,}1735889572222222\quad\Rightarrow\quad \Delta T_b=5000\cdot0{,}1735889572222222=867{,}9447861111111^\circ\mathrm{C}.
  • Queda no isolante:
    \Delta T_i = q\frac{L_i}{k_i}=5000\cdot\frac{0{,}275079754}{0{,}9}.
    Calcule:
    \frac{0{,}275079754}{0{,}9}=0{,}3056441711111111\quad\Rightarrow\quad \Delta T_i=5000\cdot0{,}3056441711111111=1528{,}2208555555556^\circ\mathrm{C}.
  • Queda no aço (verificação, já usada antes):
    \Delta T_s = q\frac{L_s}{k_s}=5000\cdot\frac{0{,}02}{26{,}1}=5000\cdot0{,}0007668711656441718=3{,}834355828220859^\circ\mathrm{C}.
  • Soma das quedas:
    \Delta T_b+\Delta T_i+\Delta T_s\approx867{,}9448+1528{,}2209+3{,}8344=2400{,}0^\circ\mathrm{C},
    que confere com 2500-100=2400^\circ\mathrm{C}. Bom sinal de consistência.

Passo 7

Calcular as temperaturas nas interfaces pedidas.
  • Interface tijolo / isolante: temperatura logo após o tijolo medida a partir da face quente:
    T_{\text{b}/\text{i}}=T_{\text{quente}}-\Delta T_b=2500-867{,}9447861111111\approx1632{,}055213888889^\circ\mathrm{C}.
  • Interface isolante / aço: temperatura logo antes do aço (ou logo após o isolante):
    T_{\text{i}/s}=T_{\text{b}/\text{i}}-\Delta T_i=1632{,}055213888889-1528{,}2208555555556\approx103{,}8343583333334^\circ\mathrm{C}.
    (Consistência: T_{\text{i}/s}=T_{\text{frio}}+\Delta T_s=100+3{,}834355828220859\approx103{,}8343558282209^\circ\mathrm{C}. Pequenas diferenças são por arredondamento.)

Resposta

(a) L_b=0{,}624920246\\ \mathrm{m}\quad e \quad L_i=0{,}275079754\\ \mathrm{m}.
(b) T_{\text{tijolo/isolante}}\approx1632{,}06^\circ\mathrm{C}\quad e \quad T_{\text{isolante/aço}}\approx103{,}83^\circ\mathrm{C}.ç

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