) Questão (Valor: 8,5 pontos):
a) Calcular a perda de carga que ocorre em uma canalização com os seguintes dados:
Água a
b) Qual será a vazão se a perda de carga permanecer a mesma do item a e o diâmetro da tubulação mudar para 250 mm ?
c) Qual o diâmetro que a tubulação deve ter para que a perda de carga seja igual, mas a vazáo aumente para
?
b) Qual será a vazão se a perda de carga permanecer a mesma do item a e o diâmetro da tubulação mudar para 250 mm ?
c) Qual o diâmetro que a tubulação deve ter para que a perda de carga seja igual, mas a vazáo aumente para
Passo 1
Vou organizar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tomei os números do enunciado):
Dados fornecidos:
- Comprimento da tubulação:
. - Diâmetro inicial:
. - Vazão inicial:
. - Rugosidade absoluta:
. - Água a
: viscosidade cinemática . - Aceleração da gravidade: vou usar
.
Perguntas:
(a) Calcular a perda de carga (altura de carga perdida) na tubulação com esses dados.
(b) Mantendo essa mesma perda de carga, qual será a vazão se o diâmetro passar para ?
(c) Mantendo a mesma perda de carga, que diâmetro é necessário para que a vazão seja ?
(a) Calcular a perda de carga (altura de carga perdida) na tubulação com esses dados.
(b) Mantendo essa mesma perda de carga, qual será a vazão se o diâmetro passar para
(c) Mantendo a mesma perda de carga, que diâmetro é necessário para que a vazão seja
Passo 2
Relembrando as fórmulas que vou usar (com explicação didática):
- Área da seção transversal (círculo):
onde
é o diâmetro e
tem unidades de
.
- Velocidade média do fluido:
onde
é a vazão em
.
- Número de Reynolds:
medida da razão entre inércia e viscosidade; aqui
em
,
em
,
em
.
- Perda de carga por Darcy–Weisbach (altura de carga):
onde
é o fator de atrito adimensional (função de
,
),
e
em metros,
em
.
- Para determinar
uso a aproximação explícita de Swamee–Jain (prática em provas porque evita iterar a equação implícita de Colebrook):
Aqui deve-se calcular
com a velocidade correspondente antes de usar a fórmula.
Explicação breve: o método será calcular
e
para cada caso, obter
pela fórmula de Swamee–Jain e então
pela fórmula de Darcy–Weisbach. Nos itens (b) e (c) há dependência mútua entre
e
(pois
depende de
), então farei iterações simples até convergência numérica (poucas iterações bastam).
Passo 3
-
Calcular a área:
-
Velocidade média:
-
Número de Reynolds:
Esse valor indica escoamento totalmente turbulento.
- Calcular
pela fórmula de Swamee–Jain:
- Primeiro calcule os termos dentro do logaritmo:
- Soma dentro do logaritmo: aproximadamente
. - Logaritmo e
:
- Calcular a perda de carga
:
- Compute
:
- Razão
: - Finalmente:
Passo 4
Interpretação: a “perda de carga” calculada é uma altura equivalente de energia (metros de coluna de água) que se perde devido ao atrito ao longo dos
de tubulação com
e vazão de
. Em termos de pressão, seria
(com
densidade da água).
Passo 5
Procedimento didático: a equação da perda de carga é
onde
e
depende de
que por sua vez depende de
. Vou resolver iterativamente: escolho um
inicial, calculo
pela expressão rearranjada, atualizo
e
, e repito até convergir.
- Valores fixos:
conhecido do item (a): . . Área:
- Iteração inicial (uso
como chute inicial, ):
- Rearranjo para
:
- Com
:
- Atualizar
e :
Usando Swamee–Jain com esses valores obtém-se
.
- Recalcular
com :
- Calcular
e novamente com : obtém-se e . A diferença entre iterações é desprezível, portanto convergiu.
Resultado do item (b):
.
Passo 6
A lógica: ao aumentar o diâmetro a velocidade necessária para manter a mesma perda de carga precisa aumentar porque, para tubulações maiores, o termo
diminui (boa coisa), mas a relação entre
e
também muda. O procedimento iterativo é padrão quando
depende de
que depende de
.
Passo 7
Queremos
tal que
com
e
dado por Swamee–Jain com
. Então
é função de
. Vou resolver numericamente por iterações em
.
-
Valores fixos:
, , , , . -
Estratégia de iteração (prática): testar valores de
e calcular (com avaliado via Swamee–Jain) até coincidir com dentro de tolerância pequena. Comecei testando e para localizar o intervalo:
- Para
e obtive (maior que ). - Para
obtive (menor que ).
Logo a solução
está entre
e
. Refinei com algumas iterações (mostro as iterações mais relevantes):
- Teste
:
- Área
. -
. -
. Swamee–Jain dá . - Então
(um pouco acima do alvo).
- Teste
:
- Resultado
(um pouco abaixo do alvo).
- Interpolando entre
e e refinando, cheguei à convergência em aproximadamente
para o qual
fica muito próximo de
(diferenças residuais desprezíveis dentro da precisão usual de cálculo manual).
Passo 8
Observação prática: pequenas variações de diâmetro na faixa de 200–210 mm alteram bastante a perda de carga porque o termo
e o fator
reagem com potências diferentes ao diâmetro; por isso a solução está bem próxima de
. Em provas, esse tipo de problema pede que se justifique o método iterativo e faça 2–4 iterações até ver convergência.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)