5^{\circ} ) Questão (Valor: 8,5 pontos):

a) Calcular a perda de carga que ocorre em uma canalização com os seguintes dados: \mathrm{L}=1500 \mathrm{~mL} =200 \mathrm{~mm} \mathrm{Q}=70 \mathrm{~L} / \mathrm{s} \varepsilon=10^{-4} \mathrm{~m} Água a 30^{\circ} \mathrm{C}: v=0,83 \times 10^{-6} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}
b) Qual será a vazão se a perda de carga permanecer a mesma do item a e o diâmetro da tubulação mudar para 250 mm ?
c) Qual o diâmetro que a tubulação deve ter para que a perda de carga seja igual, mas a vazáo aumente para 75 \mathrm{~L} / \mathrm{s} ?

Passo 1

Vou organizar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tomei os números do enunciado):
Dados fornecidos:
  • Comprimento da tubulação: L=1500\\ \text{m}.
  • Diâmetro inicial: D_1=200\\ \text{mm}=0{,}200\\ \text{m}.
  • Vazão inicial: Q_1=70\\ \text{L/s}=0{,}070\\ \text{m}^3/\text{s}.
  • Rugosidade absoluta: \varepsilon=10^{-4}\\ \text{m}.
  • Água a 30^\circ\text{C}: viscosidade cinemática \nu=0{,}83\times10^{-6}\\ \text{m}^2/\text{s}.
  • Aceleração da gravidade: vou usar g=9{,}81\\ \text{m}/\text{s}^2.
Perguntas:
(a) Calcular a perda de carga (altura de carga perdida) na tubulação com esses dados.
(b) Mantendo essa mesma perda de carga, qual será a vazão se o diâmetro passar para D_2=250\\ \text{mm}=0{,}250\\ \text{m}?
(c) Mantendo a mesma perda de carga, que diâmetro é necessário para que a vazão seja Q_3=75\\ \text{L/s}=0{,}075\\ \text{m}^3/\text{s}?

Passo 2

Relembrando as fórmulas que vou usar (com explicação didática):
  • Área da seção transversal (círculo): A=\frac{\pi D^2}{4},
onde D é o diâmetro e A tem unidades de \text{m}^2.
  • Velocidade média do fluido: V=\frac{Q}{A},
onde Q é a vazão em \text{m}^3/\text{s}.
  • Número de Reynolds: \text{Re}=\frac{V D}{\nu},
medida da razão entre inércia e viscosidade; aqui V em \text{m}/\text{s}, D em \text{m}, \nu em \text{m}^2/\text{s}.
  • Perda de carga por Darcy–Weisbach (altura de carga): h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^2}{2g},
onde f é o fator de atrito adimensional (função de \text{Re}, \varepsilon/D), L e D em metros, g em \text{m}/\text{s}^2.
  • Para determinar f uso a aproximação explícita de Swamee–Jain (prática em provas porque evita iterar a equação implícita de Colebrook): f = \frac{0{,}25}{\left[\log_{10}\!\left(\frac{\varepsilon}{3{,}7D}+\frac{5{,}74}{\text{Re}^{0{,}9}}\right)\right]^2}.
Aqui deve-se calcular \text{Re} com a velocidade correspondente antes de usar a fórmula.
Explicação breve: o método será calcular V e \text{Re} para cada caso, obter f pela fórmula de Swamee–Jain e então h_f pela fórmula de Darcy–Weisbach. Nos itens (b) e (c) há dependência mútua entre f e V (pois \text{Re} depende de V), então farei iterações simples até convergência numérica (poucas iterações bastam).

Passo 3

  1. Calcular a área: A_1=\frac{\pi D_1^2}{4}=\frac{\pi(0{,}200)^2}{4}=\pi\cdot0{,}01=0{,}01\pi\approx0{,}031416\\ \text{m}^2.
  2. Velocidade média: V_1=\frac{Q_1}{A_1}=\frac{0{,}070}{0{,}031416}\approx2{,}228\\ \text{m}/\text{s}.
  3. Número de Reynolds: \text{Re}_1=\frac{V_1 D_1}{\nu}=\frac{2{,}228\cdot0{,}200}{0{,}83\times10^{-6}}\approx\frac{0{,}4456}{0{,}83\times10^{-6}}\approx5{,}36\times10^{5}.
Esse valor indica escoamento totalmente turbulento.
  1. Calcular f_1 pela fórmula de Swamee–Jain:
  • Primeiro calcule os termos dentro do logaritmo:
\frac{\varepsilon}{3{,}7D_1}=\frac{10^{-4}}{3{,}7\cdot0{,}200}\approx0{,}0001351,
\frac{5{,}74}{\text{Re}_1^{0{,}9}}\approx\frac{5{,}74}{(5{,}36\times10^{5})^{0{,}9}}\approx4{,}00\times10^{-5}.
  • Soma dentro do logaritmo: aproximadamente 1{,}75\times10^{-4}.
  • Logaritmo e f:
f_1=\frac{0{,}25}{\left[\log_{10}(1{,}75\times10^{-4})\right]^2}\approx\frac{0{,}25}{(-3{,}757)^2}\approx0{,}01772.
  1. Calcular a perda de carga h_{f1}:
  • Compute V_1^2/(2g):
\frac{V_1^2}{2g}=\frac{(2{,}228)^2}{2\cdot9{,}81}\approx\frac{4{,}964}{19{,}62}\approx0{,}2532\\ \text{m}.
  • Razão L/D_1: \dfrac{L}{D_1}=\dfrac{1500}{0{,}200}=7500.
  • Finalmente:
h_{f1}=f_1\frac{L}{D_1}\frac{V_1^2}{2g}\approx0{,}01772\cdot7500\cdot0{,}2532\approx33{,}7\\ \text{m}.

Passo 4

Interpretação: a “perda de carga” calculada é uma altura equivalente de energia (metros de coluna de água) que se perde devido ao atrito ao longo dos 1500\\ \text{m} de tubulação com D=200\\ \text{mm} e vazão de 70\\ \text{L/s}. Em termos de pressão, seria \Delta p=\rho g h_f (com \rho densidade da água).

Passo 5

Procedimento didático: a equação da perda de carga é
h_f = f_2\frac{L}{D_2}\frac{V_2^2}{2g},
onde V_2=Q_2/A_2 e f_2 depende de \text{Re}_2 que por sua vez depende de V_2. Vou resolver iterativamente: escolho um f_2 inicial, calculo V_2 pela expressão rearranjada, atualizo \text{Re}_2 e f_2, e repito até convergir.
  1. Valores fixos: h_f conhecido do item (a): h_f\approx33{,}7\\ \text{m}. D_2=0{,}250\\ \text{m}. Área:
A_2=\frac{\pi D_2^2}{4}=\frac{\pi(0{,}250)^2}{4}\approx0{,}049087\\ \text{m}^2.
  1. Iteração inicial (uso f_1 como chute inicial, f^{(0)}=0{,}01772):
  • Rearranjo para V_2:
V_2=\sqrt{\frac{2g h_f D_2}{f^{(k)} L}}.
  • Com f^{(0)}=0{,}01772:
V_2^{(0)}=\sqrt{\frac{2\cdot9{,}81\cdot33{,}7\cdot0{,}250}{0{,}01772\cdot1500}}\approx2{,}492\\ \text{m}/\text{s}.
  • Q_2^{(0)}=A_2 V_2^{(0)}\approx0{,}049087\cdot2{,}492\approx0{,}1223\\ \text{m}^3/\text{s}\\ (122{,}3\\ \text{L/s}).
  1. Atualizar \text{Re}_2 e f_2:
\text{Re}_2=\frac{V_2 D_2}{\nu}\approx\frac{2{,}492\cdot0{,}250}{0{,}83\times10^{-6}}\approx7{,}51\times10^{5}.
Usando Swamee–Jain com esses valores obtém-se f_2^{(1)}\approx0{,}01677.
  1. Recalcular V_2 com f_2^{(1)}:
V_2^{(1)}=\sqrt{\frac{2\cdot9{,}81\cdot33{,}7\cdot0{,}250}{0{,}01677\cdot1500}}\approx2{,}562\\ \text{m}/\text{s},
Q_2^{(1)}=A_2 V_2^{(1)}\approx0{,}049087\cdot2{,}562\approx0{,}1258\\ \text{m}^3/\text{s}\\ (125{,}8\\ \text{L/s}).
  1. Calcular \text{Re}_2 e f_2 novamente com V_2^{(1)}: obtém-se \text{Re}_2\approx7{,}72\times10^{5} e f_2^{(2)}\approx0{,}01676. A diferença entre iterações é desprezível, portanto convergiu.
Resultado do item (b): \boxed{Q_2\approx0{,}1258\\ \text{m}^3/\text{s}=125{,}8\\ \text{L/s}}.

Passo 6

A lógica: ao aumentar o diâmetro a velocidade necessária para manter a mesma perda de carga precisa aumentar porque, para tubulações maiores, o termo L/D diminui (boa coisa), mas a relação entre f e \text{Re} também muda. O procedimento iterativo é padrão quando f depende de \text{Re} que depende de Q.

Passo 7

Queremos D tal que
h_f = f(D)\,\frac{L}{D}\,\frac{V^2}{2g},
com V=\dfrac{Q_3}{A(D)}=\dfrac{4Q_3}{\pi D^2} e f(D) dado por Swamee–Jain com \text{Re}=\dfrac{V D}{\nu}=\dfrac{4Q_3}{\pi D \nu}. Então h_f é função de D. Vou resolver numericamente por iterações em D.
  1. Valores fixos: Q_3=0{,}075\\ \text{m}^3/\text{s}, h_f=33{,}7\\ \text{m}, L=1500\\ \text{m}, \varepsilon=10^{-4}\\ \text{m}, \nu=0{,}83\times10^{-6}\\ \text{m}^2/\text{s}.
  2. Estratégia de iteração (prática): testar valores de D e calcular h_f(D) (com f avaliado via Swamee–Jain) até h_f(D) coincidir com 33{,}7\\ \text{m} dentro de tolerância pequena. Comecei testando D=0{,}200\\ \text{m} e D=0{,}210\\ \text{m} para localizar o intervalo:
  • Para D=0{,}200\\ \text{m} e Q_3=0{,}075\\ \text{m}^3/\text{s} obtive h_f\approx38{,}5\\ \text{m} (maior que 33{,}7).
  • Para D=0{,}210\\ \text{m} obtive h_f\approx29{,}9\\ \text{m} (menor que 33{,}7).
Logo a solução D está entre 0{,}200\\ \text{m} e 0{,}210\\ \text{m}. Refinei com algumas iterações (mostro as iterações mais relevantes):
  1. Teste D=0{,}205\\ \text{m}:
  • Área A=\dfrac{\pi(0{,}205)^2}{4}\approx0{,}03299\\ \text{m}^2.
  • V=\dfrac{0{,}075}{A}\approx2{,}273\\ \text{m}/\text{s}.
  • \text{Re}\approx5{,}61\times10^{5}. Swamee–Jain dá f\approx0{,}01761.
  • Então h_f\approx33{,}96\\ \text{m} (um pouco acima do alvo).
  1. Teste D=0{,}206\\ \text{m}:
  • Resultado h_f\approx33{,}06\\ \text{m} (um pouco abaixo do alvo).
  1. Interpolando entre 0{,}205 e 0{,}206 e refinando, cheguei à convergência em aproximadamente
D\approx0{,}2053\\ \text{m}=205{,}3\\ \text{mm},
para o qual h_f fica muito próximo de 33{,}7\\ \text{m} (diferenças residuais desprezíveis dentro da precisão usual de cálculo manual).

Passo 8

Observação prática: pequenas variações de diâmetro na faixa de 200–210 mm alteram bastante a perda de carga porque o termo V^2 e o fator L/D reagem com potências diferentes ao diâmetro; por isso a solução está bem próxima de 205\\ \text{mm}. Em provas, esse tipo de problema pede que se justifique o método iterativo e faça 2–4 iterações até ver convergência.

Resposta

(a) h_f\approx33{,}7\\ \text{m}
(b) Q_2\approx125{,}8\\ \text{L/s}
(c) D\approx205{,}3\\ \text{mm}

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