Rolamentos de esferas são temperados por meio do resfriamento em um banho de água a uma temperatura de
. Você recebeu uma solicitação para projetar um processo contínuo no qual as esferas poderiam rolar a partir de um forno de impregnação, a uma temperatura uniforme de
, para dentro da água, de onde seriam transportadas para fora por uma correia transportadora de borracha. A correia, entretanto, não seria satisfatória se a temperatura superficial das esferas que deixam a água for maior que
. Se o coeficiente de transferência de calor superficial entre as esferas e a água puder ser igual a
,
(a) Descubra uma relação aproximada fornecendo o tempo de resfriamento mínimo permitido na água como uma função do raio das esferas para diâmetros de até
.
(a) Descubra uma relação aproximada fornecendo o tempo de resfriamento mínimo permitido na água como uma função do raio das esferas para diâmetros de até
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados fornecidos.
-
Pedido: obter uma relação aproximada que dê o tempo de resfriamento mínimo necessário na água em função do raio das esferas, válida para diâmetros até
. -
Dados do enunciado:
- Temperatura inicial das esferas:
. - Temperatura do banho (fluido):
. - Temperatura máxima permitida ao sair da água (superfície):
. - Coeficiente de transferência convectiva:
. - Diâmetros considerados: até
⇒ raio máximo .
- Temperatura inicial das esferas:
-
Informação adicional necessária (não fornecida no enunciado): propriedades térmicas do material das esferas. Vou usar valores típicos para aço (rolamentos de esferas são usualmente de aço):
- Densidade:
. - Capacidade térmica mássica:
. - Condutividade térmica:
.
- Densidade:
Observação: escolhi esses valores por serem representativos de aços de rolamento; como o enunciado não dá material, a resposta será uma aproximação baseada nessas propriedades.
Passo 2
Critério para simplificar o problema: método da capacidade térmica concentrada (lumped-capacitance). Explicação didática do conceito.
- Ideia física: se a resistência térmica por condução dentro da esfera for muito pequena em relação à resistência por convecção na superfície, então a temperatura dentro da esfera permanece praticamente uniforme durante o resfriamento. Nesse caso, podemos tratar a esfera como um corpo com temperatura uniforme que varia no tempo — modelo lumped.
- Indicador de validade: número de Biot,
onde é o comprimento característico do objeto definido por - Para uma esfera de raio
: Logo - Regra prática: se
o método lumped é aceitável (erros pequenos).
Passo 3
Verificação do
para os raios considerados e conclusão sobre o uso do modelo lumped.
- Substituindo
e : onde está em metros. Para o raio máximo : - Conclusão: para diâmetros até
(ou ) vale a condição . Portanto o modelo lumped é apropriado e vai nos dar uma relação precisa o bastante.
Passo 4
Derivação da fórmula de resfriamento pelo modelo lumped (balanço de energia e solução).
-
Balanço de energia (corpo com temperatura uniforme): variação de energia interna = perda por convecção na superfície:Aqui:
-
é a densidade ( ), -
é o volume da esfera ( ), -
é a capacidade térmica mássica ( ), -
é a temperatura uniforme da esfera em tempo , -
é o coeficiente convectivo ( ), -
é a área da esfera ( ), -
é a temperatura do fluido (água).
-
-
Separando e integrando (equação diferencial linear de primeira ordem) obtemos a solução conhecida:
-
Para a esfera
(ver passo 2). Assim o expoente fica: -
Logo, para atingir uma temperatura
a partir de precisamos de um tempo mínimo que satisfaça Resolvendo para:
Esta é a relação desejada: tempo mínimo de resfriamento como função do raio
.
Passo 5
Substituição numérica dos valores e simplificação para uma forma prática.
- Primeiro calcule o fator logarítmico com os valores de temperatura (todas em °C, diferença de temperatura em K tem o mesmo valor numérico):
logo - Compute o coeficiente
com , e : - Multiplicando pelo logaritmo:
- Portanto a relação final numérica é (com
em metros): - Para conveniência, em termos de
em centímetros (denotar em cm, lembrando ):
Passo 6
Exemplo numérico e verificação com o raio máximo.
- Para o raio máximo correspondente a diâmetro
: , - Interpretação: uma esfera de raio
precisa de aproximadamente de imersão para que sua temperatura uniforme (e, portanto, sua superfície) caia de para no banho a com .
Passo 7
Resumo das hipóteses e limitações (importante para prova e projeto).
- Hipóteses usadas:
- Propriedades térmicas constantes e iguais às do aço adotado (
, , ). - Convecção caracterizada por
uniforme. - Temperatura inicial uniforme
. - Modelo lumped (válido pois
para os tamanhos considerados).
- Propriedades térmicas constantes e iguais às do aço adotado (
- Limitações: se o material real tiver propriedades muito diferentes, ou se
for diferente (por exemplo esferas parcialmente submersas, bolhas, movimento da água etc.), os tempos devem ser recalculados. Se fosse maior que , seria necessário resolver a equação de difusão térmica interna (séries) e o resultado seria diferente.