Rolamentos de esferas são temperados por meio do resfriamento em um banho de água a uma temperatura de 37^{\circ} \mathrm{C}. Você recebeu uma solicitação para projetar um processo contínuo no qual as esferas poderiam rolar a partir de um forno de impregnação, a uma temperatura uniforme de 870^{\circ} \mathrm{C}, para dentro da água, de onde seriam transportadas para fora por uma correia transportadora de borracha. A correia, entretanto, não seria satisfatória se a temperatura superficial das esferas que deixam a água for maior que 90^{\circ} \mathrm{C}. Se o coeficiente de transferência de calor superficial entre as esferas e a água puder ser igual a 590 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K},
(a) Descubra uma relação aproximada fornecendo o tempo de resfriamento mínimo permitido na água como uma função do raio das esferas para diâmetros de até 1,0 \mathrm{~cm}.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos.
  • Pedido: obter uma relação aproximada que dê o tempo de resfriamento mínimo necessário na água em função do raio das esferas, válida para diâmetros até 1,0\\ \mathrm{cm}.
  • Dados do enunciado:
    • Temperatura inicial das esferas: T_i = 870^\circ\mathrm{C}.
    • Temperatura do banho (fluido): T_\infty = 37^\circ\mathrm{C}.
    • Temperatura máxima permitida ao sair da água (superfície): T_s = 90^\circ\mathrm{C}.
    • Coeficiente de transferência convectiva: h = 590\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}.
    • Diâmetros considerados: até 1,0\\ \mathrm{cm} ⇒ raio máximo r_{\max} = 0,5\\ \mathrm{cm} = 0,005\\ \mathrm{m}.
  • Informação adicional necessária (não fornecida no enunciado): propriedades térmicas do material das esferas. Vou usar valores típicos para aço (rolamentos de esferas são usualmente de aço):
    • Densidade: \rho = 7{,}8\times10^{3}\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}.
    • Capacidade térmica mássica: c_p = 460\\ \mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}.
    • Condutividade térmica: k = 43\\ \mathrm{W\,m^{-1}\,K^{-1}}.
Observação: escolhi esses valores por serem representativos de aços de rolamento; como o enunciado não dá material, a resposta será uma aproximação baseada nessas propriedades.

Passo 2

Critério para simplificar o problema: método da capacidade térmica concentrada (lumped-capacitance). Explicação didática do conceito.
  • Ideia física: se a resistência térmica por condução dentro da esfera for muito pequena em relação à resistência por convecção na superfície, então a temperatura dentro da esfera permanece praticamente uniforme durante o resfriamento. Nesse caso, podemos tratar a esfera como um corpo com temperatura uniforme que varia no tempo — modelo lumped.
  • Indicador de validade: número de Biot, \mathrm{Bi}=\frac{h L_c}{k},onde L_c é o comprimento característico do objeto definido por L_c=\frac{V}{A}.
  • Para uma esfera de raio r: V=\frac{4}{3}\pi r^3,\qquad A=4\pi r^2\quad\Rightarrow\quad L_c=\frac{V}{A}=\frac{r}{3}.Logo \mathrm{Bi}=\frac{h\,r}{3k}.
  • Regra prática: se \mathrm{Bi}<0,1 o método lumped é aceitável (erros pequenos).

Passo 3

Verificação do \mathrm{Bi} para os raios considerados e conclusão sobre o uso do modelo lumped.
  • Substituindo h=590\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}} e k=43\\ \mathrm{W\,m^{-1}\,K^{-1}}: \mathrm{Bi}=\frac{590\,r}{3\cdot 43}=\frac{590}{129}\,r\approx 4{,}5729\,r,onde r está em metros. Para o raio máximo r_{\max}=0,005\\ \mathrm{m}: \mathrm{Bi}(r_{\max})\approx 4{,}5729\times 0,005=0{,}0229<0{,}1.
  • Conclusão: para diâmetros até 1{,}0\\ \mathrm{cm} (ou r\le 0,005\\ \mathrm{m}) vale a condição \mathrm{Bi}<0{,}1. Portanto o modelo lumped é apropriado e vai nos dar uma relação precisa o bastante.

Passo 4

Derivação da fórmula de resfriamento pelo modelo lumped (balanço de energia e solução).
  • Balanço de energia (corpo com temperatura uniforme): variação de energia interna = perda por convecção na superfície:
    \rho V c_p \frac{dT}{dt} = -h A\bigl(T(t)-T_\infty\bigr).
    Aqui:
    • \rho é a densidade ( \mathrm{kg\,m^{-3}}),
    • V é o volume da esfera ( \mathrm{m^3}),
    • c_p é a capacidade térmica mássica ( \mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}),
    • T(t) é a temperatura uniforme da esfera em tempo t,
    • h é o coeficiente convectivo ( \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}),
    • A é a área da esfera ( \mathrm{m^2}),
    • T_\infty é a temperatura do fluido (água).
  • Separando e integrando (equação diferencial linear de primeira ordem) obtemos a solução conhecida:
    \frac{T(t)-T_\infty}{T_i-T_\infty}=\exp\!\left(-\frac{hA}{\rho V c_p}\,t\right).
  • Para a esfera A/V=3/r (ver passo 2). Assim o expoente fica:
    \frac{hA}{\rho V c_p}=\frac{h\cdot 3}{\rho c_p\, r}=\frac{3h}{\rho c_p\, r}.
  • Logo, para atingir uma temperatura T_s a partir de T_i precisamos de um tempo mínimo t que satisfaça
    \frac{T_s-T_\infty}{T_i-T_\infty}=\exp\!\left(-\frac{3h}{\rho c_p\, r}\,t\right).
    Resolvendo para t:
    t(r)=\frac{\rho c_p\, r}{3h}\,\ln\!\left(\frac{T_i-T_\infty}{T_s-T_\infty}\right).
Esta é a relação desejada: tempo mínimo de resfriamento como função do raio r.

Passo 5

Substituição numérica dos valores e simplificação para uma forma prática.
  • Primeiro calcule o fator logarítmico com os valores de temperatura (todas em °C, diferença de temperatura em K tem o mesmo valor numérico): \frac{T_i-T_\infty}{T_s-T_\infty}=\frac{870-37}{90-37}=\frac{833}{53}\approx 15{,}732,logo \ln\!\left(\frac{833}{53}\right)\approx 2{,}7569.
  • Compute o coeficiente \dfrac{\rho c_p}{3h} com \rho=7{,}8\times10^{3}\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}, c_p=460\\ \mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}} e h=590\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}: \frac{\rho c_p}{3h}=\frac{7{,}8\times10^{3}\cdot 460}{3\cdot 590} =\frac{3{,}588\times10^{6}}{1770}\approx 2{,}027{,}12\times10^{3}\\ \mathrm{s\,m^{-1}}.
  • Multiplicando pelo logaritmo: \frac{\rho c_p}{3h}\ln\!\left(\frac{T_i-T_\infty}{T_s-T_\infty}\right)\approx 2{,}027{,}12\times10^{3}\times 2{,}7569 \approx 5{,}588{,}7\times10^{3}\\ \mathrm{s\,m^{-1}}.
  • Portanto a relação final numérica é (com r em metros): t(r)\approx 5{,}588{,}7\times10^{3}\; r\quad\text{(tempo em segundos, \(r\) em metros).}
  • Para conveniência, em termos de r em centímetros (denotar r_{\mathrm{cm}} em cm, lembrando r= r_{\mathrm{cm}}/100): t(r_{\mathrm{cm}})\approx 55{,}887\; r_{\mathrm{cm}}\quad\text{(tempo em segundos, \(r_{\mathrm{cm}}\) em cm).}

Passo 6

Exemplo numérico e verificação com o raio máximo.
  • Para o raio máximo correspondente a diâmetro 1{,}0\\ \mathrm{cm}: r=0{,}005\\ \mathrm{m}, t(0{,}005)\approx 5{,}588{,}7\times10^{3}\times 0{,}005\approx 27{,}94\\ \mathrm{s}.
  • Interpretação: uma esfera de raio 0{,}005\\ \mathrm{m} precisa de aproximadamente 28\\ \mathrm{s} de imersão para que sua temperatura uniforme (e, portanto, sua superfície) caia de 870^\circ\mathrm{C} para 90^\circ\mathrm{C} no banho a 37^\circ\mathrm{C} com h=590\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}.

Passo 7

Resumo das hipóteses e limitações (importante para prova e projeto).
  • Hipóteses usadas:
    • Propriedades térmicas constantes e iguais às do aço adotado ( \rho=7{,}8\times10^3, c_p=460, k=43).
    • Convecção caracterizada por h=590\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}} uniforme.
    • Temperatura inicial uniforme T_i=870^\circ\mathrm{C}.
    • Modelo lumped (válido pois \mathrm{Bi}<0{,}1 para os tamanhos considerados).
  • Limitações: se o material real tiver propriedades muito diferentes, ou se h for diferente (por exemplo esferas parcialmente submersas, bolhas, movimento da água etc.), os tempos devem ser recalculados. Se \mathrm{Bi} fosse maior que 0{,}1, seria necessário resolver a equação de difusão térmica interna (séries) e o resultado seria diferente.

Resposta

t(r)=\frac{\rho c_p\, r}{3h}\,\ln\!\left(\frac{T_i-T_\infty}{T_s-T_\infty}\right) \approx 5{,}588{,}7\times10^{3}\;r\\ \text{(s, com \(r\) em m)}
\text{Ex.: }t(0{,}005\\ \mathrm{m})\approx 27{,}94\\ \text{s}.

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