Questão
. No momento em que um marcador de paintball libera um projétil esférico, de
de diâmetro, sua velocidade é de
. Estime a força de arrasto sobre o projétil.
Passo 1
O enunciado nos dá os seguintes dados e pede a estimativa da força de arrasto sobre o projétil:
- diâmetro do projétil:
; - velocidade inicial:
.
O que é pedido: estimar a força de arrastoexercida pelo ar sobre a esfera (projétil) naquele regime de velocidade. Vou usar os dados típicos do ar à temperatura ambiente quando necessário (densidade e viscosidade).
Passo 2
Apresentação da fórmula que vamos usar e o significado de cada termo.
A expressão empírica mais usada para arrasto em fluidos em regime de fluxo uniforme é a equação do arrasto quadrático:
onde:
-
é a densidade do fluido (ar) em ; -
é o coeficiente de arrasto adimensional (depende da forma do corpo e do número de Reynolds); -
é a área de seção reta do projétil perpendicular ao fluxo, em ; -
é a velocidade relativa fluido-corpo em ; -
é a força de arrasto em .
Explicando didaticamente: a equação diz que arrasto cresce com a densidade do fluido, com a “resistência” geométrica do objeto (
) e com o quadrado da velocidade. Para esferas em regime de fluxo típico (não viscoso dominante),
fica em torno de
–
.
Passo 3
Calcular a área de seção reta da esfera e fixar valores típicos do ar que usaremos:
- raio da esfera:
. - área de seção reta:
Valores típicos do ar a
que usaremos:
- densidade:
; - viscosidade dinâmica:
.
Passo 4
Verificar o número de Reynolds para saber em que regime de escoamento estamos (isso orienta a escolha de
). O número de Reynolds é
Substituindo os valores:
Calcule passo a passo:
Interpretação:
(muito maior que
), portanto o escoamento não está no regime viscoso-laminar de Stokes; está num regime onde o arrasto é aproximadamente proporcional a
e o coeficiente
para uma esfera fica tipicamente na faixa
–
.
Passo 5
Escolha de
. Para uma esfera lisa com
costuma-se usar
(valor padrão da literatura). Vou usar
como estimativa razoável.
Passo 6
Substituir tudo na fórmula do arrasto e efetuar as contas passo a passo.
Primeiro compute
:
Agora calcule o pré-fator
:
Cálculo passo a passo:
Finalmente:
Arredondando sensatamente:
.
Passo 7
Verificação rápida de sensibilidade: se usássemos
(valor arredondado comum), obteríamos
Ou seja, a estimativa está na faixa
–
. Isso confirma que
é um valor de ordem correta.
Passo 8
Interpretação final e dica prática para prova: o procedimento geral para estimar arrasto é
- calcular
; - estimar
para escolher apropriado (consultando tabela ou lembrando valores típicos: esfera – para Re entre e ); - aplicar
.
Na prova, com os valores aproximados do ar eusual para esfera, a conta é direta e rápida.