Questão 3(33, \overline{3} \%). No momento em que um marcador de paintball libera um projétil esférico, de 1,4 \mathrm{~cm} de diâmetro, sua velocidade é de 83 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Estime a força de arrasto sobre o projétil.

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados e pede a estimativa da força de arrasto sobre o projétil:
  • diâmetro do projétil: D=1,4\\ \mathrm{cm} = 0,014\\ \mathrm{m};
  • velocidade inicial: v=83\\ \mathrm{m/s}.
    O que é pedido: estimar a força de arrasto F_D exercida pelo ar sobre a esfera (projétil) naquele regime de velocidade. Vou usar os dados típicos do ar à temperatura ambiente quando necessário (densidade e viscosidade).

Passo 2

Apresentação da fórmula que vamos usar e o significado de cada termo.
A expressão empírica mais usada para arrasto em fluidos em regime de fluxo uniforme é a equação do arrasto quadrático:
F_D = \frac{1}{2}\,\rho\,C_D\,A\,v^{2},
onde:
  • \rho é a densidade do fluido (ar) em \mathrm{kg/m^{3}};
  • C_D é o coeficiente de arrasto adimensional (depende da forma do corpo e do número de Reynolds);
  • A é a área de seção reta do projétil perpendicular ao fluxo, em \mathrm{m^{2}};
  • v é a velocidade relativa fluido-corpo em \mathrm{m/s};
  • F_D é a força de arrasto em \mathrm{N}.
Explicando didaticamente: a equação diz que arrasto cresce com a densidade do fluido, com a “resistência” geométrica do objeto ( C_D\cdot A) e com o quadrado da velocidade. Para esferas em regime de fluxo típico (não viscoso dominante), C_D fica em torno de 0,4 0,5.

Passo 3

Calcular a área de seção reta da esfera e fixar valores típicos do ar que usaremos:
  • raio da esfera: r=\dfrac{D}{2}= \dfrac{0,014}{2}=0,007\\ \mathrm{m}.
  • área de seção reta:
A=\pi r^{2} = \pi (0,007)^{2} \approx \pi \times 4,9\times10^{-5} \approx 1,54\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}}.
Valores típicos do ar a 20^\circ\mathrm{C} que usaremos:
  • densidade: \rho \approx 1,2\\ \mathrm{kg/m^{3}};
  • viscosidade dinâmica: \mu \approx 1,8\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.

Passo 4

Verificar o número de Reynolds para saber em que regime de escoamento estamos (isso orienta a escolha de C_D). O número de Reynolds é
\mathrm{Re}=\dfrac{\rho\,v\,D}{\mu}.
Substituindo os valores:
\mathrm{Re}=\dfrac{1,2 \times 83 \times 0,014}{1,8\times10^{-5}}.
Calcule passo a passo:
1,2\times83 = 99,6,
99,6\times0,014 = 1,3944,
\mathrm{Re}=\dfrac{1,3944}{1,8\times10^{-5}}\approx 7,7\times10^{4}.
Interpretação: \mathrm{Re}\approx 7{,}7\times10^{4} (muito maior que 1), portanto o escoamento não está no regime viscoso-laminar de Stokes; está num regime onde o arrasto é aproximadamente proporcional a v^{2} e o coeficiente C_D para uma esfera fica tipicamente na faixa \sim 0{,}4 0{,}5.

Passo 5

Escolha de C_D. Para uma esfera lisa com 10^{3}\lesssim\mathrm{Re}\lesssim10^{5} costuma-se usar C_D\approx0{,}47 (valor padrão da literatura). Vou usar C_D=0{,}47 como estimativa razoável.

Passo 6

Substituir tudo na fórmula do arrasto e efetuar as contas passo a passo.
Primeiro compute v^{2}:
v^{2}=83^{2}=6889.
Agora calcule o pré-fator \dfrac{1}{2}\rho C_D A:
\dfrac{1}{2}\rho C_D A = 0,5\times 1,2 \times 0,47 \times 1,54\times10^{-4}.
Cálculo passo a passo:
0,5\times1,2 = 0,6,
0,6\times0,47 = 0,282,
0,282\times1,54\times10^{-4} \approx 4,3428\times10^{-5}.
Finalmente:
F_D = \left(4,3428\times10^{-5}\right)\times 6889 \approx 0,299\\ \mathrm{N}.
Arredondando sensatamente: F_D \approx 0,30\\ \mathrm{N}.

Passo 7

Verificação rápida de sensibilidade: se usássemos C_D=0,50 (valor arredondado comum), obteríamos
\dfrac{1}{2}\rho C_D A \approx 4,62\times10^{-5},
F_D \approx 4,62\times10^{-5}\times6889 \approx 0,32\\ \mathrm{N}.
Ou seja, a estimativa está na faixa \approx 0,30 0,32\\ \mathrm{N}. Isso confirma que 0,30\\ \mathrm{N} é um valor de ordem correta.

Passo 8

Interpretação final e dica prática para prova: o procedimento geral para estimar arrasto é
  1. calcular A=\pi(D/2)^{2};
  2. estimar \mathrm{Re}=\rho v D/\mu para escolher C_D apropriado (consultando tabela ou lembrando valores típicos: esfera \sim0{,}4 0{,}5 para Re entre 10^{3} e 10^{5});
  3. aplicar F_D=\tfrac12\rho C_D A v^{2}.
    Na prova, com os valores aproximados do ar e C_D usual para esfera, a conta é direta e rápida.

Resposta

F_D \approx 0,30\\ \mathrm{N}

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