2^circ QUESTÃO (valor: 2,5 pts ) Determine uma equação do círculo C cujo centro é a interseção das retas r: y+x=0 e s: y-x+2=0. O raio deste círculo é igual a distância entre os vértices da hipérbole H : 9 x^2-4 y^2-18 x-27=0.

Passo 1

O enunciado pede a equação de um círculo C cujo centro é a interseção das retas
r: y + x = 0
e
s: y - x + 2 = 0,
e cujo raio é igual à distância entre os vértices da hipérbole
H: 9x^2 - 4y^2 - 18x - 27 = 0
O conteúdo envolve: interseção de retas, forma canônica de hipérbole, determinação de vértices e equação de círculo.

Passo 2

Para achar o centro de
Da primeira equação vem .

Passo 3

Vamos escrever a hipérbole em forma canônica. Partimos de
9x^2 - 18x - 4y^2 - 27 = 0
e completamos o quadrado em x:
9l(x^2-2xr) - 4y^2 -27 = 0 Longrightarrow 9l[(x-1)^2-1r] -4y^2 -27 = 0
9(x-1)^2 -9 -4y^2 -27 = 0 Longrightarrow 9(x-1)^2 -4y^2 = 36 Longrightarrow (x-1)^24 - y^29 = 1

Passo 4

Na forma
(x-1)^2a^2 - y^2b^2 = 1
temos a^2=4, logo a=2. Os vértices ficam em (1pm a,0), ou seja em (3,0) e (-1,0). A distância entre eles é
raiz(3-(-1))^2 + (0-0)^2 = 4

Passo 5

O raio do círculo é r=4. Com centro em (1,-1) e raio 4, a equação de C é
(x-1)^2 + (y+1)^2 = 16

Resposta

(x-1)^2 + (y+1)^2 = 16

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