3^circ QUESTÃO: (valor: 2,5 pts ) Determine uma equação da elipse E sabendo que o seu centro é o ponto (-5,2) e um dos vértices de seu eixo maior coincide com o foco da parábola P: 8 y-x^2=0. Sabe-se ainda que a menor distância entre um foco e um vértice do seu eixo maior é 1 u.c. Esboce E indicando seus elementos.

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma elipse E cujo centro é (-5,2), sabendo que um dos vértices do seu eixo maior coincide com o foco da parábola
P:;8y - x^2=0
e que a menor distância entre um foco e um vértice de E é 1 unidade de comprimento.
Conteúdo: geometria analítica de cônicas, cálculo de foco de parábola e forma reduzida da elipse.

Passo 2

Encontrar o foco da parábola P. Escrevendo
8y = x^2Longrightarrow y = x^28 = x^24cdot2,
vemos que p=2, pois a forma padrão é y = x^24p. Logo o foco de P é
(0,p) = (0,2)

Passo 3

Como (0,2) é um vértice do eixo maior de E e o centro de E é (-5,2), a distância centro–vértice é
a = l|0 - (-5)r| = 5
Isto mostra que o eixo maior é horizontal e os vértices são ( -5pm5,;2), ou seja (0,2) e (-10,2).

Passo 4

Seja c a distância do centro de E a cada foco. A condição “menor distância entre um foco e um vértice é 1” significa
a - c = 1 Longrightarrow 5 - c = 1 Longrightarrow c = 4
Em uma elipse vale b^2 = a^2 - c^2, logo
b^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9,
isto é, b = 3.

Passo 5

A forma reduzida da elipse de centro (h,k)=(-5,2), eixo maior paralelo ao eixo x, parâmetros a=5 e b=3 é
(x+5)^225 + (y-2)^29 = 1

Passo 6

Esboço dos elementos de E:
  • Centro: (-5,2).
  • Vértices maiores: (0,2) e (-10,2).
  • Co-vértices: l(-5,;2pm3r)=(-5,5) e (-5,-1).
  • Focos: l(-5pm4,;2r)=(-1,2) e (-9,2).
    O eixo maior tem comprimento 2a=10, o menor 2b=6.

Resposta

boxed(x+5)^225 + (y-2)^29 = 1

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