QUESTÃO: (valor: ) Determine uma equação da elipse sabendo que o seu centro é o ponto e um dos vértices de seu eixo maior coincide com o foco da parábola . Sabe-se ainda que a menor distância entre um foco e um vértice do seu eixo maior é 1 u.c. Esboce indicando seus elementos.
Passo 1
O enunciado pede a equação de uma elipse cujo centro é , sabendo que um dos vértices do seu eixo maior coincide com o foco da parábola
e que a menor distância entre um foco e um vértice de é unidade de comprimento.
Conteúdo: geometria analítica de cônicas, cálculo de foco de parábola e forma reduzida da elipse.
Passo 2
Encontrar o foco da parábola . Escrevendo
vemos que , pois a forma padrão é . Logo o foco de é
Passo 3
Como é um vértice do eixo maior de e o centro de é , a distância centro–vértice é
Isto mostra que o eixo maior é horizontal e os vértices são ( -5pm5,;2), ou seja (0,2) e (-10,2).
Passo 4
Seja c a distância do centro de E a cada foco. A condição “menor distância entre um foco e um vértice é 1” significa
a - c = 1 Longrightarrow 5 - c = 1 Longrightarrow c = 4
Em uma elipse vale b^2 = a^2 - c^2, logo
b^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9,
isto é, b = 3.
Passo 5
A forma reduzida da elipse de centro (h,k)=(-5,2), eixo maior paralelo ao eixo x, parâmetros a=5 e b=3 é
(x+5)^225 + (y-2)^29 = 1
Passo 6
Esboço dos elementos de E:
Centro: (-5,2).
Vértices maiores: (0,2) e (-10,2).
Co-vértices: l(-5,;2pm3r)=(-5,5) e (-5,-1).
Focos: l(-5pm4,;2r)=(-1,2) e (-9,2).
O eixo maior tem comprimento 2a=10, o menor 2b=6.