Questão 5 Considere o espaço vetorial
com as operações de soma e multiplicação por escalar definidas respectivamente por
(a) Determine o elemento neutro da soma
.
(b)
é subspaço vetorial de
? Caso afirmativo, determine a dimensão de
. Caso negativo, justifique ou dê um contra-exemplo.
(b)
Passo 1
O enunciado define operações não usuais em
: a soma
e o produto por escalar
. Pede: (a) elemento neutro de
; (b) verificar se
é subespaço de
e, em caso afirmativo, sua dimensão.
Passo 2
Para achar o neutro
de
precisamos que, para todo
,
Pela definição,
Igualando a
segue
Logo o elemento neutro é
.
Passo 3
Para mostrar que
é subespaço de
verificamos:
-
: como é o neutro de , tem , logo . - Fechado em
: sejam com . Então
- Fechado em
: para e com ,
Assim,
é subespaço de
.
Passo 4
Em
o único grau de liberdade é
. Uma base é
, logo
Resposta
(a) O neutro de
é
.
(b) Sim, é subespaço de
e
.
(b) Sim,