Questão 5 Considere o espaço vetorial V=R^2 com as operações de soma e multiplicação por escalar definidas respectivamente por
(x, y) star(tildex, tildey) & =(x+tildex+5, y+tildey) e alpha *(x, y) & =(alpha x+5(alpha-1), alpha y), para todo alpha in R
(a) Determine o elemento neutro da soma star.
(b) W=(x, y) in V ; x=-5 é subspaço vetorial de V ? Caso afirmativo, determine a dimensão de W. Caso negativo, justifique ou dê um contra-exemplo.

Passo 1

O enunciado define operações não usuais em V=R^2: a soma star e o produto por escalar *. Pede: (a) elemento neutro de star; (b) verificar se
W=(x,y)in Vmid x=-5
é subespaço de V e, em caso afirmativo, sua dimensão.

Passo 2

Para achar o neutro e=(ex,ey) de star precisamos que, para todo (x,y)in V,
(x,y)star(ex,ey)=(x,y)
Pela definição,
(x,y)star(ex,ey)=(x+ex+5,;y+ey)
Igualando a (x,y) segue
y+ey=yLongrightarrow ey=0,
x+ex+5=xLongrightarrow ex=-5
Logo o elemento neutro é (-5,0).

Passo 3

Para mostrar que W é subespaço de V verificamos:
  1. Wneqemptyset: como (-5,0) é o neutro de star, tem x=-5, logo (-5,0)in W.
  2. Fechado em star: sejam (u1,y1),(u2,y2)in W com u1=u2=-5. Então
(u1,y1)star(u2,y2)=(-5-5+5,;y1+y2)=(-5,;y1+y2)in W
  1. Fechado em *: para alphainR e (u,y)in W com u=-5,
alpha*(u,y)=(alpha(-5)+5(alpha-1),;alpha y)=(-5alpha+5alpha-5,;alpha y)=(-5,;alpha y)in W
Assim, W é subespaço de V.

Passo 4

Em W o único grau de liberdade é y. Uma base é (-5,1), logo
dim(W)=1

Resposta

(a) O neutro de star é (-5,0).
(b) Sim, W é subespaço de V e dim(W)=1.

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